DM suites terminale S

[invite3b9b669a]

Bonjour, je vais vous exposer mon problème:

Soit une suite (un) definie par son 1er terme u0 et la relation de recurrence pour tout entier n de N, u(n+1)=(1/3)(un)+2
Soit (vn) la suite définie sur N par vn=un+a avec a un réel

J'ai trouvé a=-3

En déduire vn et un en fonction de n et de u0
En déduire que la suite (un) est convergente et determiner sa limite
Calculer la somme Sn=somme des n avec i=0 (ui) en fonction de n
Determiner la limite de Sn/n quand n tend vers +infini

Si vous pouviez m'expliquer en plus, je ne tiens pas à recopier sans comprendre. Merci d'avance !
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[cpalperou]

Salut,
pour écrire v_n en fonction de n, écrit v_n+1 en fonction de v_n.
Là, tu remarqueras que v_n est une suite particulière et, si tu te souviens de ton cours, tu sauras écrire v_n en fonction de n et de v₀.
Et par la suite, en écrivant v₀ en fonction de u₀, tu auras la réponse à la première question.
Bon courage

[invite3b9b669a]

Merci beaucoup pour cette piste, j'ai donc trouvé v(n+1)=1/3vn+2

[cpalperou]

Non, ce n'est pas ça!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3b9b669a]

J'ai pourtant fais: vn=un+a donc v(n+1)=u(n+1)+a

ce qui revient à dire: v(n+1)=(1/3)un+2+a

un+a etant egal a vn on peut dire v(n+1)=(1/3)vn+2

Non ?

[cpalperou]

J'ai trouvé a=-3
!

Est-ce que a vaut bien -3 ? Si oui, fait l'exo en remplacant a par -3 !

et u_n+a vaut bien vn mais (1/3)u_n+a ne vaut pas v_n !!!

[invite3b9b669a]

Oui a vaut bien -3 en revanche je ne vois vraiment pas comment exprimer vn en fonction de n
non v(n+1)=(1/3)vn+2 selon moi

[cpalperou]

Alors , si a vaut bien -3, on a v_n=u_n-3
Donc, v_n+1 = u_n+1-3
or u_n+1=(1/3)u_n+2
donc, v_n+1=(1/3)u_n+2 - 3 = (1/3)u_n -1 =(1/3)(u_n-3)=(1/3)v_n

Voilà pour v_n+1 en fonction de v_n. Là, tu reconnais un type de suite classique et ça te permet d'écrire v_n en fonction de n et de v₀.
Reste alors à exprimer v₀ en fonction de u₀ et tu auras ainsi v_n en fonction de n et de u₀

[invite3b9b669a]

Ah oui merci, en effet c'est une suite géometrique là. Encore merci