Suites Terminale S

[invitef4688192]

Bonjour tout le monde

Petit problème avec les suites...

On a une suite définie par récurrence telle que pour tout entier n:

U_n+1 = (Un - 1) / (2Un - 9)

Avec U_o = -3

1) démontrer par récurrence que pour tout n, Un<1
2) démontrer que la suite Un est croissante et qu'elle converge
3) Soit la suite (Vn) définie par Vn= 1 - Un
Démontrer que, pour tout n, V_n+1 < (1/7)Vn
et déduisez-en la limite de la suite (Vn)



1) Je pense avoir réussi cette question
J'ai calculer U₁ pour l'initialisation
Ensuite on suppose l'hypothèse vraie au rang n
Et on essaye de montrer que Un+1 <1
Je voudrais juste savoir si je peux dire que
comme Un<1 on a Un-8 <-7 et 2Un-9 <-7
Donc (Un-8)/(2Un-9) <1

2) Pour cette question j'ai essayé avec U_n+1 - Un
mais je n'arrive pas à prouver que c'est positif...
je trouve U_n+1 - Un = (-2Un² + 10Un -8) / (2Un-9)

2Un-9 <0
et pour le reste j'ai calculé les racines je trouve 4 et 1.. mais je ne voit pas comment prouver que c'est toujours positif...

En ce qui concerne la deuxième partie de la question pour prouver qu'elle converge j'ai calculer la limite de U_n+1... je trouve 1/2
Donc la suite converge vers 1/2....

3) J'ai commencer par calculer V_n+1 et je trouve V_n+1 = (Un-1)/( 2Un-9)
Mais après je suis vraiment bloqué...

besoin d'un peu d'aide svp


Merci d'avance
-----

[God's Breath]

Bonjour,

Je voudrais juste savoir si je peux dire que
comme Un<1 on a Un-8 <-7 et 2Un-9 <-7
Donc (Un-8)/(2Un-9) <1

Non, on ne peut pas opérer cette déduction.
On peut par contre utiliser et étudier le signe.

et pour le reste j'ai calculé les racines je trouve 4 et 1.. mais je ne voit pas comment prouver que c'est toujours positif...

Le signe du trinôme ?

pour prouver qu'elle converge j'ai calculer la limite de U_n+1... je trouve 1/2

Et comment diable as-tu calculé cette limite ?

je trouve V_n+1 = (Un-1)/( 2Un-9).

Ce résultat est faux...
Calcule correctement et étudie son signe.

[invitef4688192]

Bonjour,

Non, on ne peut pas opérer cette déduction.
On peut par contre utiliser et étudier le signe.

étant donné que Un<1 on peut dire que 2Un-9 < -7 et Un- 8 < -7
comme le dénominateur et le numérateur sont négatif on a U_n+1 qui est positif... mais je ne vois pas comment faire pour prouver que U_n+1 <1

Le signe du trinôme ?

Le trinôme est négatif sauf entre 4 et 1... donc U_n+1 - Un est positif sauf entre 4 et 1...
Mais ça ne suffit pas pour dire que le suite (Un) est croissante...
Je devrais trouver que Un+1 - Un est toujours positif non?

Et comment diable as-tu calculé cette limite ?

avec Un+1... ^^'
il me semblait bienque c'était faux... mais je ne sais pas comment prouver que la suite (Un) converge...

Ce résultat est faux...
Calcule correctement et étudie son signe.

est-ce que je peux dire que Vn+1 = 1 - U_n+1 ?


merci God's Breath

[invitee625533c]

Bonjour,

étant donné que Un<1 on peut dire que 2Un-9 < -7 et Un- 8 < -7
comme le dénominateur et le numérateur sont négatif on a Un+1 qui est positif... mais je ne vois pas comment faire pour prouver que Un+1 <1

Non ce n'est pas u_n+1 qui est positif, regarde bien le premier membre de l'égalité ci-dessus.

Le trinôme est négatif sauf entre 4 et 1... donc Un+1 - Un est positif sauf entre 4 et 1...
Mais ça ne suffit pas pour dire que le suite (Un) est croissante...

Où se trouvent les u_n ? lis bien l'énoncé.

mais je ne sais pas comment prouver que la suite (Un) converge...

Regarde ton cours: tu as certainement vu des théorèmes sur la convergence des suites.

A la question 2) on te demande de démontrer que la suite converge, et non de calculer sa limite, nuance !.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4688192]

Bonjour,


Non ce n'est pas u_n+1 qui est positif, regarde bien le premier membre de l'égalité ci-dessus.

Désolé je ne comprend toujours pas... Pourquoi ce n'est pas U_n+1 qui est positif?
On a bien U_n+1 = (Un - 8) / (2 Un - 9 )
et comme le numérateur et le dénominateur sont négatif...

je suis un peu perdu là...

Où se trouvent les u_n ? lis bien l'énoncé.

Oui en effet... on a démontrer dans la question précédente que Un<1..
Merci ^^'

Regarde ton cours: tu as certainement vu des théorèmes sur la convergence des suites.

A la question 2) on te demande de démontrer que la suite converge, et non de calculer sa limite, nuance !.

Une suite converge si elle est croissante et majorée... ^^'

Or c'est ce qu'on démontre juste avant...




Merci

Mais je bloque toujours pour le reste avec la suite (Vn)...

J'ai essayé plusieurs choses mais je n'y arrive toujours pas...

[God's Breath]

On a bien U_n+1 = (Un - 8) / (2 Un - 9 )

Non !! On a .

Mais je bloque toujours pour le reste avec la suite (Vn)...

Calcule et étudie son signe.

C'est la méthode infaillible : pour prouver que , on calcule dont on étudie le signe.

[invitef4688192]

Non !! On a .

Je vois où est le problème... c'est de ma faute...
je me suis trompé dans l'énoncé...

U_n+1 = (Un -8)/ (2Un-9) et non pas à (Un -1)/( 2Un - 9 )

désolé...

donc U_n+1 est bien positif ??

mais ça ne résout pas mon problème de départ... ^^'
car le but est de prouver que U_n+1<1

Calcule et étudie son signe.

C'est la méthode infaillible : pour prouver que , on calcule dont on étudie le signe.

J'ai calculé et je trouve

= (1/7)(U_n+1 - Un)

Et comme Un est croissante on a Un+1 -Un >0
Donc >0
^^'
oki c'est bon j'ai enfin compris...

il demande ensuite d'en déduire la limite de (Vn)...
je ne vois pas en quoi cette relation aide pour connaître la limite de (Vn)... Faut-il utiliser la suite (Un) pour trouver?


Merci beaucoup...

[invitee625533c]

il demande ensuite d'en déduire la limite de (Vn)...
je ne vois pas en quoi cette relation aide pour connaître la limite de (Vn)... Faut-il utiliser la suite (Un) pour trouver?

v_n vérifie ≤ pour tout n ≥ 1.

applique cette inégalité à

puis à , etc...

et en utilisant les n inégalités précédentes, trouve une inégalité entre et , qui te permettra de conclure...

[invitef4688192]

v_n vérifie ≤ pour tout n ≥ 1.

applique cette inégalité à

puis à , etc...

et en utilisant les n inégalités précédentes, trouve une inégalité entre et , qui te permettra de conclure...

Désolé je ne comprend pas
Si j'applique cette inégalité à V_n-1 j'obtiens
V_n-1 < (1/7) V_{n - 2}
V_n-2 < (1/7) V_n-3

ect...

mais en quoi cela nous aide à connaître la limite

[invitee625533c]

c'est ça. Mais tu m'as pas écouté jusqu'au bout:

et en utilisant les n inégalités précédentes, trouve une inégalité entre et , qui te permettra de conclure...

donc je répète: fais le lien entre les n inéquations pour trouver une inégalité liant et

si je te donne une indication c'est pour que tu y arrives tout seul, donc évite s'il te plaît l'expression du genre

mais en quoi cela nous aide à connaître la limite

, car c'est vraiment cela qui nous donnera la limite.

Cordialement !

[invitef4688192]

c'est ça. Mais tu m'as pas écouté jusqu'au bout:


donc je répète: fais le lien entre les n inéquations pour trouver une inégalité liant et

Merci pour les indications et j'essaye vraiment de trouver...
Je cherche depuis tout à l'heure mais je n'arrive pas à faire le lien..

on connait V₀ puisqu'on a U₀ = -3

je ne vois vraiment pas le lien entre V₀ et Vn ...

je dois surement m'y prendre mal mais j'essaye vraiment...

En tout cas merci pour les indications je vais encore essayer

[invitee625533c]

≤ ≤ ≤ ...

continue...

exemple: ≤ ≤ ≤ ...

continue...