Equations différencielles et physique

[invite37938390]

Bonjour,
Dans le cadre d'un mémoire professionnel, je suis amené à calculer l'évolution de la température d'un fluide dans un tube en fonction de la longueur.

J'arrive à discrétiser l'équation qui régit cette évolution, puis à la calculer par calcul itératif avec excel en partant des deux équations (sur le fluide : qm fluide x Cp fluide x (T _t - T _(t+1) ) et l'échange thermique entre fluide/exterieur version simplifié : h _global x dS x (T _ext - T _t)

avec : h _global le coeff d'échange global (W/m²K) (convection +conduction)
dS: la surface d'échange infinitésimale


Mais je souhaiterai faire la même chose, mais de manière plus "mathématique", sans avoir à itérer.
Je sais que je doit faire appel aux equa diff, mais je n'arrive pas à poser l'équation de base, mon utilisation des equa diff ayant été plus que limitée ces 5 dernières années ^^

Comment dois-je procéder?

En espérant m'être fait comprendre,

Acid
-----

[Jon83]

Bonjour!
Google est ton ami...

[invite15928b85]

Bonjour.

Vous dites vous intéresser à l'évolution de la température d'un fluide dans un tube en fonction de la longueur. Or vos équations font apparaître le temps seulement.

Pourriez vous préciser votre besoin ? En particulier, le fluide est-il stationnaire dans le tube, ou non ? Quelles sont les conditions initiales ? etc.

Sinon, on trouve effectivement beaucoup de choses sur le web concernant le calcul des échangeurs de chaleur tubulaires, thème dont vous pourriez vous inspirer pour faire des recherches.

Cordialement.

[invite37938390]

Oui en effet, c'est plutôt la longueur, erreur de notation,
Pour être plus précis, je souhaite estimer le sous refroidissement de liquide dans une machine frigorifique, en sortie de condenseur.
Si par fluide stationnaire vous voulez dire statique, non, le fluide est dynamique, mais je suis bien en régime stationnaire "thermodynamiquement" parlant.

J'ai effet trouvé beaucoup de choses pour estimer le coefficient d'échange (Reynolds, Prandtl et toute la bande...) mais je souhaite seulement poser l'équation me permettant de trouver le dT en fonction de la longueur parcourue, mais sans itérer, c'est un problème purement mathématique...c'est pour ca que je demande ici!

J'approfondirai ensuite un calcul plus précis du coeff d'échange, mais je l'estime pour simplifier au début.

cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite79d10163]

en partant des deux équations (sur le fluide : qm fluide x Cp fluide x (T _t - T _(t+1) ) et l'échange thermique entre fluide/exterieur version simplifié : h _global x dS x (T _ext - T _t)

avec : h _global le coeff d'échange global (W/m²K) (convection +conduction)
dS: la surface d'échange infinitésimale

Acid

Bonjour,

Afin de ne pas dire de bêtises, pourriez vous écrire clairement l'équation que vous calculez de manière itérative ?

[invite37938390]

Ok, donc on pose dL, notre pas de longueur
Le tube est circulaire, d'un diamètre d
Le débit de fluide est connue, la température initiale du fluide aussi ainsi que le coeff d'échange hg
La puissance échangée théorique dP entre le fluide et l'extérieur sur la distance dL est définie par deux équations:
qm x Cp x dT=h_g x dS x (T_fluide-T_ext)
on développe:
qm x Cp x (T_L - T_L+1) = hg x ((pi x d²)/4) x dL x (T_L-T_ext)
on isole ensuite T_l+1 (pas le temps, au boulot^^) et on itère tout ca sur excel en ce fixant un dl=5cm par exemple

[invite15928b85]

Re.

Moyennant certaines hypothèses simplificatrices (température indépendante de la coordonnée radiale dans le fluide, en particulier), le problème est régi par une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

Je vous suggère la lecture de ce document : http://www.meca.unicaen.fr/~ridha/pd...rnsfrt-Ch6.pdf , partie analyse. Le problème qui y est traité est plus complexe que le vôtre, mais vous devriez y trouver une bonne source d'inspiration.

Bon courage.

[invite79d10163]

qm x Cp x dT=h_g x dS x (T_fluide-T_ext)
on développe:
qm x Cp x (T_L - T_L+1) = hg x ((pi x d²)/4) x dL x (T_L-T_ext)

ok, pour moi qui suis non spécialiste, l'equation différentiel sous - jacente est :

qm x Cp x dT(l)/dl = hg x ((pi x d²)/4) x (T(l)-T_ext )

donc de la forme :

T' = a T + b

dont la solution générale s'écrit :

f(x) = lambda * exp(a*x) - b/a

Bon, tout ça est à vérifier bien sur....

[invite37938390]

Bien sur suis-je bête !
en fait j'avai déja tout posé mais j'arrivai pas à en dégager un y' et un y
Merci!
Je vais tester ca et comparer à l'itération

[invite37938390]

Il y à une érreur dans ma "démonstration", j'ai mis (pi x d²)/4 au lieux de 2 x pi x R

Sinon sujet resolu, ca marche