Equation différencielles

[mc222]

Bonjours à tous,

Je voudrait bien comprendre une bonne fois pour toute les équations différentielles de base comme celle ci:

L'exemple classique du ressort et de la masse.

Imaginons une masse suspendu à un ressort, lui meme accroché au plafond admettons, comment determiner l'équation : x(t) ?

Je sais que:



: force de frottement

Force du ressort.

Prennons comme origine du repère, en x, le point d'équilibre de la masse, et supposons le ressort sans masse.

Comment faire, quelle est la démarche pour déterminer x(t) ?
N'esiter pas à détailler s'il vous plait

Merci beaucoup, au revoir.
-----

[Coincoin]

Salut,
C'est tout un chapitre que tu demandes.

Regarde par Wikipédia, ça a l'air bien détaillé.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Équatio...d%27ordre_deux

[mc222]

désolé mais je ne comprend pas la raisonnement éxposé

[vaincent]

désolé mais je ne comprend pas la raisonnement éxposé

Qu'est-ce-que tu ne comprends pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mc222]

je ne comprend pas comment il trouve les solutions de l'équation différentielle

[Coincoin]

On essaye des exponentielles. La raison première est que c'est facile à dériver les exponentielles (et a posteriori on verra que ça marche).
Du coup, on obtient l'équation caractéristique, qui nous dit à quelle condition l'exponentielle est bien solution.

Et après, Cauchy nous dit qu'espace des solutions est de dimension 2. Donc en faisant des combinaisons linéaires des deux exponentielles solutions, on a toutes les solutions.

[stefjm]

je ne comprend pas comment il trouve les solutions de l'équation différentielle

Bonjour,
Pour avoir une idée intuitive du pourquoi des exponentielles...

Pour un ordre 1 homogène :


Cette équation diff est à variables séparables :


On reconnait à gauche la différentielle d'un logarithme et à droite celle d'une rampe.




Pour la généralisation à l'ordre 2, puis n, c'est assez facile et Coincoin a donné l'essentiel.

Je completterais dans un moment.

@+

[stefjm]

La suite...

On voit donc qu'un système linéaire du premier ordre répond en exponentielle, de la forme avec .

Il est assez naturel de constater que ce qui caractérise la réponse en exponentielle est donnée par la solution de l'équation, dite caractéristique , à comparer à
(Derière ceci, il y a la transformée de Laplace, qui transforme formellement les dérivées temporelles en multiplication par p)

Pour passer à l'ordre 2, comme le système est linéaire, on peut obtenir les solutions par combinaison linéaire. L'équation caractéristique est de degré 2, donc deux solutions sur C, p1 et p2. La solution de l'équa diff sera de la forme
(p1 diff de p2)

Si les solutions p1 et p2 sont réelles et différentes, la réponse est en exponentielle réelle.

Si les solutions sont complexes (conjuguées si les coeffs de l'équa diff sont réels), la solution est en exponentielle complexe et le retour sur R se fait grâce au conjugué et à la relation de Moivre.


Reste le cas p1=p2 de la racine double que je ne détaille pas.

Pour la généralisation à n, comme tout polynome sur R se décompose en polynome de degré 1 et 2, on se ramène aux cas précédents.

Cordialement.