Exercices Math, 1erS

[invite302e61f3]

Bonjour, je galère un peu sur mes exos de géométrie, c'est pas mon fort.

Je vous présente l'exercice:
1. placez A ( 2,1 ) B ( -1,4 ) C ( -3,-2 )
2. Calculez les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC
3. Calculez les coordonnées de G' barycentre de ( A-2 ) ( B,3) ( C,1)
4. Les points O,G,G' sont-ils alignés ?

2. Je sais que pour que G soit le centre de gravité du triangle ABC, il faut que G soit l'isobarycentre de A, B, et C. Mais je suis blocké là..

3.Je sais que G' a pour coordonné ( par définition ) :
xG': alpha xa + béta xb + cima xc le tout diviser par alpha + béta + cima
yG' : alpha ya + béta yb + cima yc le tout diviser par alpha + béta + cima.
Mais je n'arrive pas à remplacer par les chiffres..

4. Il faut d'abord que je construire la figure parce que je suis un peu perdu là..
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[invite252799b5]

Bonjour
Alors pour ton probléme tu as :
xG' = (-2*2+3*-1+1*-3)/(-2+3+1)
yG' = (-2*1+3*4+1*-2)/(-2+3+1)

Ensuite avec les coordonées tu vérifie la colinéarité de OG & GG' et le tour est joué !

[Jon83]

Bonjour!
Pour la question 1) un dessin s'impose! (Tu peux utiliser Géoplan-Géospace)
Pour la 2) connaissant les coordonnées de A, B et C (que tu supposes affectés du poids 1), tu dois être capable de trouver les coordonnées de G, non?

[invite302e61f3]

Merci d'avoir répondu.

J'ai fait le dessin pour la 1.

Pour la 2 :

Je considère un barycentre ( -1, -2 ) ( 3, -4 ) ( -3, -2 ) ?

Je suis un peu perdu sur cette question qui a l'air pourtant simple..

Pour la 3 : Merci, je viens de comprendre.

Pour la 4 : Je pense utiliser le théorème d'associativité, ce qui me donnerai O point d'intercection de G', G. Après je ne vois pas ce que je peux faire. Peut-être considéré un point O' ?

Je n'ai pas encore fait ça en cours donc c'est tout nouveau :s

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Pour la question 2), quelles sont les expressions qui donnent les coordonnées du barycentre de trois points? (révise ton cours...)

[invite302e61f3]

Dans mon cours je n'ai qu'une expression comme ca. Celle que j'ai utilisé dans la question 3.

La question deux me perturbe parce que je dois trouver les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC.

Dans mon cours je vois que si G est le barycentre de 3 points, et que alpha = béta = cima , alors G est appelé isobarycentre de A, B, C et il est appelé centre de gravité du triangle ABC.

Je ne vois pas comment je peux faire pour que alpha = béta = cima et en plus calculer ses coordonnées..

[Jon83]

Tu as dû apprendre que si on a trois points A, B, C affectés des poids a, b, c, les coordonnées du barycentre de ces trois points sont:
,

Il ne te reste plus qu'à remplacer par les valeurs numériques...

[invite302e61f3]

Non je n'ai jamais vu cette propriété..

Je pense qu'il doit y avoir une autre solution pour répondre à la question 1. Je suis en train de cherchez, je vous tiens au courant.

Sinon j'avais un autre exercice que j'ai réussi à faire en partie.
ABCD quadrilatère. I milieu de AC et J milieu de BD.
Les points K et L sont tels que :
KA = -2KB et LC = -2LD, M milieu du segment [LK]
Le but de cet exercice est de montré que les points M,I, et J sont alignés.

1.
a) justifiez l'existence du barycentre G de (A,1) (B,2) (C,1) (D,2)
b) Prouvez que G appartient à (KL) et (IJ)
2.
Justifiez que M est confondu avec G et indiquez la positions de M sur (IJ)

1.
a)
KA = -2KB
KA + 2KB = 0 1 + 2 différent de 0
Donc K barycentre de (A,1) (B,2)

LC = -2LD
LC + 2LD = 0 1 + 2 différent de 0
Donc L barycentre de ( C,1 ) ( D,2 )


Notons G barycentre de ( A,1 ) ( B,2 ) ( C,1 ) ( D,2 )

b)
G barycentre de ( A,1 ) ( B,2 ) ( C,1 ) ( D,2 )
K barycentre de ( A,1 ) ( B,2 )
Théorème d'associativité :
G barycentre de ( K,3 ) ( C,1 ) ( D,2 )

G barycentre de ( K,3 ) ( C,1 ) ( D,2 )
L barycentre de ( C,1 ) ( D,2 )
théorème d'associativité
G barycentre de ( K, 3 ) ( L, 3 )

Par définition, G appartient donc à (KL)

2.
G isobarycentre de [LK] car alpha = béta : G milieu de [LK].
Or M milieu de [LK]. Donc M et G sont confondus.

Pour la position de M sur (IJ), dois-je partir sur un nouveau barycentre ? Je suis blocké là.. :s

[invite302e61f3]

Petit up.

[invitea3eb043e]

Tu étais bien parti :
G barycentre de ( A,1 ) ( B,2 ) ( C,1 ) ( D,2 )
K barycentre de ( A,1 ) ( B,2 )
Théorème d'associativité :
G barycentre de ( K,3 ) ( C,1 ) ( D,2 )

G barycentre de ( K,3 ) ( C,1 ) ( D,2 )
L barycentre de ( C,1 ) ( D,2 )
théorème d'associativité
G barycentre de ( K, 3 ) ( L, 3 )

Par définition, G appartient donc à (KL)
Il te reste à jouer autrement :
I barycentre de (A,1) et C(1) : milieu de AC
J barycentre de (B,2) et (D,2) (pareil que de dire que c'est le barycentre de (B,1) et (D,1), milieu de BD
Donc G barycentre de (I,2) et (J,4) donc G sur IJ, c'est le point M

[invite302e61f3]

Super, j'ai tout compris

Pour la rédaction :

Par définition, G appartient donc à (KL)

I barycentre de (A,1) et C(1) car I milieu de AC
J barycentre de (B,2) et (D,2) car J milieu de BD
Théorème d'associativité 2 fois comme pour ( KL )
Donc G barycentre de (I,2) et (J,4) donc G appartient à IJ.

Ensuite il faut que je précise la position de M ( G ) sur ( IJ ) pour en déduire M I J alignés.

Donc M barycentre de (I,2) et (J,4)

Dois-je utiliser le théorème de réduction pour avoir un vecteur en fonction de deux autres ?
Je suis un peu perdu là. :s

[invitea3eb043e]

A partir du moment où M est le barycentre de I et J, c'est qu'il est aligné avec I et J.

[invite302e61f3]

Bah oui, je suis vraiment..

Indiquez la position de M sur ( IJ ), Je n'ai pas besoin de précisez ? Comme je sais que M = G, du coup M barycentre de ( I,2 ) (J,4 )..