Exercice sur les limites, Terminale S

[inviteab0994ec]

Bonjour à tous, je viens tout juste de m'inscrire sur ce forum et c'est mon premier appel à l'aide.

Travaillant par le biais du CNED (donc seul chez moi), il m'arrive d'avoir quelques difficultés dans la résolution de certains exercice de mathématiques, il y a donc de forte chance que je me tourne régulièrement vers vous afin de mieux comprendre mon cours


Le problème auquel je suis confronté aujourd'hui concerne les fonctions. En effet, certains aspects de la leçon me laisse perplexe. L'exercice nous demande de calculer les limites des suivantes :

1) lim _{(n -> +oo)} de (2ⁿ - 2) / (3 ⁿ + 1) ;

2) lim _{(n -> +oo)} de 2²ⁿ - 3ⁿ ;

3) lim _{(n -> +oo)} de (2 sin n) / 3ⁿ ;



Pour le 1), j'ai commencé par remarqué que lim _{(n -> +oo)} de 2ⁿ = lim _{(n -> +oo)} de 3ⁿ = + oo ;

A partir de là, j'ai pu déduire que lim _{(n -> +oo)} 2ⁿ - 2 = lim _{(n -> +oo)} 3ⁿ + 1 = +oo ;

Il me semble que lim _{(n -> +oo)} 1 / (3ⁿ + 1) = 0 ;

Mais à partir de là, je bloque totalement. Je voulais utiliser les règles opératoires pour trouver la limite de (2ⁿ - 2) x (1 / (3ⁿ + 1)) mais ça ne fonctionne pas.

Il y a-t-il une autre méthode ? Ai-je fait une erreur quelque part ?


Ensuite, pour le 2), j'ai commencé par déterminer que
2²ⁿ - 3ⁿ = 4ⁿ - 3ⁿ ;

Encore une fois, j'ai tenté d'adapter mon raisonnement à l'usage des règles opératoires.
Ainsi, on a : lim _{(n -> +oo)} 4ⁿ = +oo ;

Mais là, il faudrait calculer la limite de -3ⁿ. Et je ne sais pas comment faire.


Enfin, pour le 3), je crois m'en être à peu près sorti. J'obtiens 0 par le biais du Théorème du gendarmes.


Donc merci d'avance de m'éclairer sur mes failles, j'attends votre aide avec impatience.
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[pallas]

attention infini/infin= expression indéterminée il faut toujours lever cette indétermination par differentes méthodes donc ta premiere conclusion est fausse cse deux limites tendent vesr l'infini mais pas le même !
il faut mettre 2^n en facteur au numérateur et 3^n en facteure au dénominateur
pour arriiver à conclure

[pallas]

pour 2^n-3^n on a egalement l'infinin - l'infini donc expression indeterminée
il suffit de mettre 3^n en facteur

[pallas]

pour le dernier il suffit de remarquer que -1<sinn<1 et d'encacette limite par deux limites ayant le même résultat ( gendarmes)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bienvenue sur FSG,

Pour être sur d'obtenir des réponses sur FSG, il faut à la fois être courtois, et montrer que vous avez travaillé avant de poser des questions (d'une façon générale, il faut respecter la charte) ; votre première intervention est parfaite de ces points de vue là, donc je ne doute pas que vous aurez des réponses (je viens de voir que c'est déjà fait ).

Je vous indique, néanmoins, que FSG supporte LATEX qui est un langage qui permet d'écrire de belles formules cf. http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

Ce point n'est pas dans la charte, mais si vos posts sont plus lisibles, ils seront plus lus ...

Par exemple en appuyant sur le bouton "Citer" de mon message vous verrez comment j'ai écrit :



Pour résoudre cette limite, vous pouvez mettre 2ⁿ en facteur au numérateur et 3ⁿ au dénominateur.

[inviteab0994ec]

Déjà des réponses ! Merci beaucoup !

Alors, pour le 1), si je comprends bien, 2ⁿ et 3ⁿ n'ont pas la même limite, c'est ça ? L'un est en +oo et l'autre en -oo ? J'ai pourtant cru comprendre que si on prenait un réel q > 1, alors la limite de qⁿ lorsque n tend vers l'infini sera toujours +oo.
Pouvez-vous m'éclairer sur ce point, je suis perdu ^^

Et vous me conseillez de transformer l'opération en 2ⁿ / 3ⁿ, c'est ça ? Et ainsi, je pourrai faire (2/3)ⁿ. Comme on a -1 < 2/3 < 1, alors :
lim _{(n -> +oo)} de (2/3)ⁿ = 0 ;

C'est ça ?


Pour le 2), je ne comprends pas ce que vous conseillez de faire. Comment suis-je sensé mettre 3ⁿ en facteur ? Je dois avouer être totalement largué à ce niveau là...


Et pour le dernier, merci de confirmer mon raisonnement : c'est justement ce que j'ai fait.


En tout cas, merci beaucoup pour ces réponses. En revanche, si vous pouvez les expliciter au niveau des points que j'ai soulevé, ça m'aiderai énormément.


Et pour l'usage de LATEX pour les formules, je ne le maîtrise pas encore mais je vais m'y mettre.

[Médiat]

Alors, pour le 1), si je comprends bien, 2ⁿ et 3ⁿ n'ont pas la même limite, c'est ça ? L'un est en +oo et l'autre en -oo ?

Non , c'est pas ça du tout.

Et vous me conseillez de transformer l'opération en 2ⁿ / 3ⁿ, c'est ça ? Et ainsi, je pourrai faire (2/3)ⁿ. Comme on a -1 < 2/3 < 1, alors :
lim _{(n -> +oo)} de (2/3)ⁿ = 0 ;

C'est ça ?

C'est ça l'idée, mais il faut le rédiger correctement, en mettant 2ⁿ et 3ⁿ en facteur.

Pour le 2), je ne comprends pas ce que vous conseillez de faire. Comment suis-je sensé mettre 3ⁿ en facteur ? Je dois avouer être totalement largué à ce niveau là...

C'est plutôt 2²ⁿ qu'il faut mettre en facteur. Je vous rappelle que a + b = a(1 + b/a), pour a différent de 0.

[inviteb14aa229]

1) lim _{(n -> +oo)} de (2ⁿ - 2) / (3 ⁿ + 1) .

Bonjour Surtur,

Dans le cas d'un quotient de deux sommes, la limite de ce quotient est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré.
En clair :
=

La démonstration de ce théorème est là :
http://homeomath.imingo.net/limpol.htm
"Limite d'un quotient de polynômes en - et en +"

[Médiat]

Bonjour,

La démonstration de ce théorème est là :
http://homeomath.imingo.net/limpol.htm
"Limite d'un quotient de polynômes en - et en +"

Oui, mais ici il ne s'agit pas d'un quotient de polynomes, donc le théorème ne s'applique pas !

La solution la plus simple, comme cela a été dit plusieurs fois est de mettre 2ⁿ et 3ⁿ en facteur

[pallas]

effectivement mets 4^n en facteur deonc 4^n(1-(3/4)^n) et le résultat tombe de suite