Exercice de Géométrie, 1erS

[invite302e61f3]

1 ) Soit f(x) = x² - 9x + 25, donner le sens de variation de f.

Réponse : a = 1, a supérieur à 0.
Donc f(x) est décroissante sur ( - l'infinie, -b sur 2a ) et est croissante sur ( -b sur 2a, + l'infinie )avec un minimal en -b sur 2a.

2 ) On considère Gf courbe représentative, dans ( O, vecteur i, vecteur j ) orthonormal, de g fonction définit par g(x) = racine de x. M point d'abscisse x de Cg, A ( 5, 0 )

a ) Exprimez AM au carré en fonction de x

Je ne comprend pas du tout cette question étant donné que c'est la première fois qu'on me parle d'optimisation..
Comment puis-je arrivé à trouvé cela ?
J'ai cherché sur internet mais je n'ai pas trouvé de cours qui pourrait m'aider là-dessus.. Pourriez-vous me donner un cours, ou une petite aide parce que là..

b ) En déduire l'abscisse du point M de Cg pour laquelle AM carré est minimal, et la plus petite distance entre A et M point de Cg.

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[invitee2a279ac]

Bonjour Jorgy,

1) Pour le sens de variation de f, c'est bien décroissante sur ]-l'infini ; 9/2[ et croissante sur ]9/2 ; + l'infini[

2) Tu as sûrement dû voir en seconde que la distance entre deux points B(x_B;y_B) et C(x_C;y_C) du plan était :
BC² = (x_B - x_C)² + (y_B - y_C)².
En appliquant cette égalité aux point M(x;y) et A(5;0), tu obtiens :
AM² = (x-5)² + y²

Mais tu sais aussi que M appartient à C_g donc tu peux trouver y en fonction de x et en déduire l'epression de AM²

3) Tu dois normalement retrouver la fonction f dont tu connais déjà le minimum puisque tu as dressé son tableau de variation!
Tu en déduis donc l'abscisse de M pour laquelle AM² est minimal puis la plus petite distance entre A et M.

En espérant t'avoir aidé,
Sh0nty

[invite302e61f3]

Merci beaucoup d'avoir répondu, jamais j'aurais réussis sans ton aide !

2) Pour la fin c'est donc :

On sait aussi que M appartient à Cg, d'axe de symétrie x = racine de x

On a alors AM2= ( x-5 )2 + ( racine de x )2 - - - ( 5 - x ) + x

C'est bien ca ? Petit doute..

3 ) l'abscisse du M de Cg pour laquelle AM2 est minimale est 9/2 ( voir 1 )

Pour la plus petite distance entre A et M de Cf, je dois calculer le polinome ? Je ne comprend pas à quoi cela servirait étant donné que je trouverai plusieurs solutions non ?

delta de f(x) = b2 - 4ac = 81 - 4 ( 1 ) ( 25 ) = 81 -100 = 19
delta supérieur à 0 donc deux solutions :
x1 = - b - racine de delta / 2a = 9 - racine de 19 / 2
x2 = -b + racine de delta / 2a = 9 + racine de 19 / 2

Mmmh' je dois etre à coté de la plaque là.. :s

[invitee2a279ac]

Pour le 2), tu obtiens que :
AM² = (x-5)² + y²
Or comme tu l'as dis si justement, y = car M appartient à C_g.
Donc on trouve que :
AM² = (x-5)² + x
et en développant :
AM² = x² - 9x + 25 = f(x)

3) Donc le carré de la distance AM est minimal pour x = 9/2 (voir 1)
Tu calcules alors AM² en prenant x = 9/2 et tu en déduis bien la distance minimale entre A et M

En espérant t'avoir aidé,
Sh0nty

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite302e61f3]

Merci beaucoup. Cette fois j'ai bien tout compris !

Donc pour le 2, j'ai développé AM2, j'ai trouvé qu'il était égale à f(x) donc c'est bon.

Pour le 3, je sais pas si c'est bien présenter.

Je trouve:

AM = x2 - 9x + 25 = 18/2 - 81/2 + 50/2 = -13/2

La plus petite distance entre A et M, point de Cf, est -13/2

[invitee2a279ac]

Il y a une erreur dans ton calcul :
AM² = x² - 9x + 25

Pour x = 9/2 :
AM² = (9/2)² - 9x(9/2) + 25 = 19/4
Donc la valeur minimal de AM² est 19/4.

Mais la distance minimal entre A et M c'est AM et non AM²! Donc la distance minimal entre A et M est AM = = (car AM est une longueur donc AM > 0)

PS : En mathématiques et en physique, il est important de vérifier la cohérence des résultats. On sait qu'une distance est positive, donc trouver que la distance minimale entre A et M est négative est impossible : tu aurais dû revérifier ton résultat Enfin, c'est juste un conseil

En espérant t'avoir aidé,
Sh0nty

[invite302e61f3]

Merci beaucoup ! C'est vrai que j'aurai du revérifié.. Que ca me serve de leçon !