Equadiff y'' = C / y²

[invitecd2beb0d]

Bonjour à vous, j'aimerai vous demander de l'aide pour la résolution d'une équation différentielle:

y" = C / y²

merci d'avance pour votre aide ^^
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[Jon83]

Bonjour!
Cela se fait en deux étapes; en premier, commence par chercher une primitive de

[invitecd2beb0d]

Si y' apparaît, on à P[Cy'/y²] = -C/y + K

On à donc y''y' = Cy'/y² <=> P[y''y'] = P[Cy'/y²]

<=> y'²/2 = -C/y + K

Suis-je sur le bon chemin ?

[invite5150dbce]

Oui tu peux isoler y' et l'exprimer en fonction de y (attention 2 cas à traiter avec la racie carré)
Ainsi tu as une équation de la forme y'.u'(y)=a avec a constante
Il te suffit alors de trouver une primitive de u

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Oui tu peux isoler y' et l'exprimer en fonction de y (attention 2 cas à traiter avec la racie carré)
Ainsi tu as une équation de la forme y'.u'(y)=a avec a constante
Il te suffit alors de trouver une primitive de u

Bonsoir!
Mais que vaut u(y) dans ton expression?
Personnellement, en partant de et en séparant les variables, j'obtiens
Mais je n'arrive pas à trouver le bon changement de variable pour intégrer....

[invite5150dbce]

Personnelement, c'est exactement la même chose que la technique de séparation des variables mais je trouve cette méthode plus clair car elle fait apparaître la dérivée d'une fonction composée.

Ensuite pour trouver une primitive d'une fonction de la forme sqrt((x+b)/(x+c))
On peut simplifier l'expression en écrivant sqrt((x+b)/(x+c))=(x+b)/sqrt((x+b)(x+c))=(x+b)/sqrt(x²+(b+c)x+bc)
Ensuite selon le signe du discriminant, on peut reconnaître la dérivée de sh ou ch
attention au numérateur et ne pas oublier de faire des changements de variable

[Jon83]

La fonction ne se présente pas sous la forme que tu indiques! Donc ici je trouve, sauf erreur de ma part, que ta méthode n'aboutie pas...

[invite5150dbce]

La fonction ne se présente pas sous la forme que tu indiques! Donc ici je trouve, sauf erreur de ma part, que ta méthode n'aboutie pas...

Non mais sérieusement, tu te fiches de moi ???

On va faire comme au collège alors
Dans la racine, mets tout au même dénominateur

[Jon83]

Laisse tomber...

[invite5150dbce]

Laisse tomber...

Soit plus explicite dans ce cas

[invite51d17075]

bonjour hhh,
personnellement, j'aprecierais que tu ailles au bout de la résolution de l'équation proposée, car au depart, je n'ai même pas saisi pourquoi tu choisissais une primitive de la forme que tu decris
( a moins de connnaitre déjà le problème sans le dire )
celà étant :
ça sent effectivement du cosh et du sinh ( reniflement personnel )
même si ça me semble un peu hardos pour un exercice de lycée.

[invitecd2beb0d]

Re-bonjour à tous, merci pour vos aides.

En ce qui me concerne, j'en suis bloqué à:

y' = +- sqrt(-2(C/y + K))

y' . sqrt ( y / 2(Ky -C) ) = +- 1

On rettrouve donc bien la forme y'.u'(y)=const proposée par hhh86, mon problème vient quand il faut trouver P[ sqrt(x/(ax+b)) ]

Je vais essayer avec ta simplification; x / sqrt (x(ax+b))

[invite5150dbce]

Désolé pour le retard
"( a moins de connnaitre déjà le problème sans le dire )" ==> Non, je l'ai résolu et j'ai essayé de faire partager ma méthode de résolution avec l'auteur du post sans trop lui donner d'indications car vaut mieux qu'il comprenne tout seul et qu'il sache le refaire lui même plutôt que de le lui faire. C'est toujours mieux de réfléchir sois-même sur un exo.

Donc tu cherches une primitive de f : x |--> x / sqrt (ax²+bx)
Tu peux remarquer que f(x)=(2ax+b) / (2asqrt (ax²+bx) )-(b/2a) / (sqrt (ax²+bx)

On cherche maintenant une primitive de g : x |--> 1/ (sqrt (ax²+bx)
Tu peux remarquer que suivant le signe de a, on a :
Si a>0, g(x)=1/sqrt [(sqrt(a)x+b/2sqrt(a))²-b²/4a]=(2sqrt(a)/|b|)/sqrt [(2ax/b+1)²-1]
Une primitive de x |--> 1/sqrt [(Ax+B)²-1] est (1/A)Argch(Ax+B)
Le cas a=0 est trivial
Si a<0, g(x)=1/sqrt [-(sqrt(-a)x-b/2sqrt(-a))²+b²/4(-a)]=(2sqrt(-a)/|b|)/sqrt [-(2(-a)x/b-1)²+1]
Une primitive de x |--> 1/sqrt [1-(Ax+B)²] est (1/A)Arcsin(Ax+B)

[invite51d17075]

Une primitive de x |--> 1/sqrt [(Ax+B)²-1] est (1/A)Argch(Ax+B)

OK, mais ça cest quasi une formule de cours pas une demonstration, cela n'avance pas la résolution du pb posé par notre interlocuteur.
tu as peut être oublié un x en haut au passage dans le pb.

[invite5150dbce]

OK, mais ça cest quasi une formule de cours

Pas du tout, la façon dont c'est rédigé est certes peu clair (l'écriture en Latex prend trop de temps) mais la solution s'adapte parfaitement au problème sauf erreur de ma part qui est à fortiori envisageable.
Ce n'est pas une formule de cours et quel intérêt à expliquer en détail comment trouver une primitive d'une fonction composée simple (u(ax+b), a et b constantes réelles)?
Notre interlocuteur n'est surement pas au lycée donc passons ce genre d'étape. En sup, la rapidité est de rigueur.

pas une demonstration,

Ah bon,

cela n'avance pas la résolution du pb posé par notre interlocuteur.

Non en effet, cela le résout intégralement

tu as peut être oublié un x en haut au passage dans le pb.

Relis la ligne 6

[invitee4ef379f]

Bonsoir,

On suppose quand même dès le départ que K-c/y est positif, pour pouvoir en prendre la racine. Il y a une justification à cela?

[invite51d17075]

Donc tu cherches une primitive de f : x |--> x / sqrt (ax²+bx)
Tu peux remarquer que f(x)=(2ax+b) / (2asqrt (ax²+bx) )-(b/2a) / (sqrt (ax²+bx)

On cherche maintenant une primitive de g : x |--> 1/ (sqrt (ax²+bx)

je te prie de m'excuser si je t'ai mal lu, ou trop vite
effectivement le premier terme de f(x) s'intègre facilement.

cordialement

[invite5150dbce]

Bonsoir,

On suppose quand même dès le départ que K-c/y est positif, pour pouvoir en prendre la racine. Il y a une justification à cela?

Tout dépend si on veut une solution réelle ou complexe

[invitee4ef379f]

D'accord, pas de souci.

Merci.

[invitecd2beb0d]

Pardon pour le (grand) retard.

Merci hhh 86 pour ton aide. ^^