DM de spécialité

[invite4c898aeb]

bonjour,j'ai un dm de spécialité à faire et je bloque complètement, sachant que ce DM est sensé etre dur et que j'ai déja pas mal de difficulté ce serait bien si quelqu'un pouvait m'aidé;voici le sujet:
Exercice 1
1°vérifiez que 7 divise les nombres2^6)-1;(3^6)-1;(4^6)-1;(5^6)-1.
2°Soit n dans N et An défini par: An=2^n+3^n+4^n+5^n.
Montrez que A(n+6)-A(n)est divisible par 7.
3°Soit n un entier naturel,q et r son quotient et son reste dabs la division euclidienne par 6.Montrez que An et Ar ont le meme reste dans la division euclidienne par 7.
4°Déterminez les valeurs de n pour lesquelles An est divisible par 7.
5°Soit Bn=100^n+101^n+102^n+103^n.
a)montrez que An est congru a B[7]
b)déduisez en les valeurs de n pour lesquelles Bn est divisible par 7.

merci d'avance de m'aidé parce que j'ai vraimment du mal en spécialité...
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[pallas]

le un est evident il suffit de calculer
le deux est evident vu le 1 !!

[invite332de63a]

Exercice 1
1°vérifiez que 7 divise les nombres: (2^6)-1 ; (3^6)-1 ; (4^6)-1 ; (5^6)-1.
donc
donc donc 7 divise

De même pour les suivants

2°Soit n dans N et An défini par: An=2^n+3^n+4^n+5^n.
Montrez que A(n+6)-A(n)est divisible par 7.

Réutilise le 1° en essayant de faire apparaitre les nombres précédents c'est à dire etc, et sans oublier que si 7 divise a et b alors 7 divise toutes leurs combinaisons linéaires

3°Soit n un entier naturel,q et r son quotient et son reste dans la division euclidienne par 6.Montrez que An et Ar ont le meme reste dans la division euclidienne par 7.

Ecris bien la division euclidienne par 6 de n (avec les conditions sur "r") et cà devrait ce dérouler pas trop difficilement.

Essaye déjà les deux premières questions avec mes pistes ^^ Si tu as toujours besoin d'aide fait le savoir

RoBeRTo (Pour pallas c'est pas en disant évidant à tout bout de champs que çà va l'aider, les notions de congruences et de divisibilité ne sont pas faciles à acquérir )

[invite4c898aeb]

merci tes indications m'ont bien aidé pour faire ce premier exercice, je pense avoir plutot pas mal réussi .
jaurais un 2 eme exercice a te demander si ce n'est pas trop,je n'ai pas beaucoup de temps pour le faire et ton aide pourrait se révéler tres importante.
voila le sujet:
d,r,n sont 3 entiers naturels,n etant non nul.
1)montrez que (10d+r)^n et r^n ont le meme reste dans la division euclidienne par 10.
2)déterminez le chiffre des unités de (2222)^3.
3)a)vérifiez que (3^4)-1 est multiple de 10
b)déduisez-en que pour tout nombre entiers naturels k et r,3^(4k+r) et 3^r ont meme reste dans la division euclidienne par 10.
c)quel est le chiffre des unités du nombre 3^2222?
4)quel est le chiffre des unités de N= (2222^3)x3^2222.
merci d'avance de me repondre,(je sais bien que j abuse un peu mais jai peur de ne pas le finir sinon et ma moyenne en maths est deja bien basse) merci de votre comprehension et de bien vouloir m'aider.

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