limites de suites

[invite74d10220]

Bonjour,

Je crois décidément que le chapitre sur les limites n'est pas mon fort (c'est le deuxième message que je poste à ce sujet). Je crois que je n'ai pas compris la définition sur la limite d'une suite qui converge en l ou en + l'infini.
On dit que la suite ( Un) converge vers l et on note lim un = l lorsque x tend vers + l'infini si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Et après la deuxième définition c'est quand la suite tend vers l'infini et l'intervalle c'est ]A; + l'infini[ . Seulement je ne comprends pas où se situent ces intervalles (]A; + l'infini[ et l'intervalle contenant l), sur l'axe des ordonnées ou sur l'axe des abscisses? Non parce que pour moi c'est sur l'axe des abscisses un intervalle mais ils m'ont donné un exemple où l se situe dans un intervalle qui est lui-même situé sur l'axe des ordonnées alors je ne comprends pas.
Voulez-vous bien m'éclairer je suis bloquer pour les exercices qui évoquent ces théorèmes.
Merci d'avance.
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[NicoEnac]

Bonjour,

Pour les suites, l'axe des abscisses désigne les valeurs successives de n, le fameux indice de la suite. L'axe des ordonnées représente quant à lui les valeurs U_n.

Donc quand on dit que U_n converge vers l, l'intervalle est situé sur l'axe des ordonnées.

Prends par exemple la suite U_n = 1/n. Les premiers termes sont :
U₁ = 1
U₂ = 1/2 = 0.5
U₃ = 1/3 = 0.3333...
U₄ = 1/4 = 0.25
etc...
U₁₀₀₀ = 1/1000 = 0.001

On peut conjecturer (et prouver) que U_n tend vers 0. Pour illustrer ton problème d'intervalle : je peux dire que quel que soit l'intervalle autour de 0, je peux affirmer qu'il existe un indice "n" à partir duquel tous les termes U_n sont dans cet intervalle.

Par exemple, [-0.00002, 0.00001] : à partir de n = 100 000 tous les U_n seront dans cet intervalle.

[invite74d10220]

Merci pour votre réponse,

J'ai compris pour l'intervalle contenant l mais pas pour celui lorsque x tend vers + l'infini ] A, + l'infini[ ...on se réfère à l'axe de abscisses pour cet intervalle? A est un rang ou un terme de suite ?

[NicoEnac]

Re,

Non l'intervalle concerne toujours les U_n. Cela signifie que quel que soit le nombre A que tu me donneras, aussi grand soit-il, je trouverai toujours un indice n₀ à partir duquel U_n sera plus grand que A donc dans l'intervalle ]A;+infini[.

Exemple : U_n = n on peut dire qu'elle tend vers l'infini quand n tend vers l'infini car quel que soit A, il existe un rang n (partie entière de A +1) à partir duquel U_n > A donc U_n € ]A;+infini[

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