Limites et continuité -> (VRAI OU FAUX...?)

[invite2c06dc65]

Bonjour,

Voilà j'ai un DM de maths pour la rentrée et je suis bloquée sur cet exercice:

VRAI-FAUX - Dire si les propositions suivantes P1,P2,P3 sont vraies ou fausses .
Si la proposition est vraie, le prouver par une démonstration.
Si la propositon est fausse, le prouver par un contre-exemple.

Sujet -> Voir Photo

Je pense que :
P1 . c'est faux ... Contre-exemple
¤ f tel que lim f(x) =+∞
x-> +∞
¤ une fonction g tel que ∀ n ∈ ]0;+∞[, g(x) >0
si lim g(x) = 0
x-> +∞
Alors lim f(x)g(x)≠ +∞
x-> +∞
car lim +∞ x 0 = F.Indeterminée

P2. je dirais faux à la première lecture mais aucune idée
P3. je pense que c'est vrai mais je ne sais pas comment le justifier

Aidez-moi

Merci d'avance
-----

[inviteeb3e486f]

Jpeu pas t'aider on voit pas le sujet tu pourais l'écrire vite fait

[invite2c06dc65]

J'espère que ça va être compréhensible :

P1. Si lim f(x) =+∞ et si :∀ x ∈ ]0;+∞[ , g(x) >0,
(x)=+∞

alors lim f(x)g(x)=+∞
x-> +∞


P2. Si pour tout réel x, 1≤ f(x)≤ x+1, alors lim f(x)=1 quand x->0


P3. Si pour tout réel x positif ou nul, 1≤f(x)≤x+1, alors lim f(x)=+∞ quand x-> +∞

[inviteeb3e486f]

Je réfléchie 5 min et j'arrive

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeb3e486f]

Deja pour p2 regarde moi je pense que ces vrai car si tu remplace f(x) par 1 ou par x+1 quant tu fait tendre x vers 0 dans les deux cas il sera egale a 1 donc pour moi il est vrai p2 . Tu devrait le demontrer en remplacant et en faisant les deux limite est a chaque fois tu dois trouver un

[invite2c06dc65]

Merci, je continue de chercher de mon côté

[inviteeb3e486f]

Pour P3 ces la même chose que P2 le même raisonnement propose moi ta solution et je voit si ces juste ( peut étre que ces moi qui auras tord ) mais propose la moi toujours

[invite67f41ab0]

J'espère que ça va être compréhensible :

P1. Si lim f(x) =+∞ et si :∀ x ∈ ]0;+∞[ , g(x) >0,
(x)=+∞

alors lim f(x)g(x)=+∞
x-> +∞


P2. Si pour tout réel x, 1≤ f(x)≤ x+1, alors lim f(x)=1 quand x->0


P3. Si pour tout réel x positif ou nul, 1≤f(x)≤x+1, alors lim f(x)=+∞ quand x-> +∞

Bonjour, voici quelques indications :
Pour le 1) prend g(x)=e^-x

Pour le 2) voir le théorème du gendarme

Pour le 3) f(x)=e^-x

La réponse tu as (il est à savoir que l'exponentielle tend plus vite que n'importe quelle fonction)

[S321]

Vous avez raison, la 1 est bien fausse, mais votre exemple ne fonctionne pas. D'ailleurs ce n'est pas un exemple, vous donnez encore un cas général. Ce qu'on vous demande c'est d'expliciter une fonction f et une fonction g pour lesquelles la proposition est fausse.

Vous dites que f(x)g(x) ne tend pas vers +∞ parce que c'est une forme indéterminée, ça c'est faux. Il y a des formes indéterminées qui tendent vers +∞. Par exemple x²*(1/x) correspond à votre "exemple" et tend tout de même vers +∞.

P2 : Vous avez faux car la propriété est vraie ^^.
P3 : Celle là est fausse. Vous n'êtes vraiment pas chanceux. Essayez de voir si vous ne trouvez pas une fonction constante qui vérifie l'hypothèse (vous êtes sûr qu'une fonction constante ne va pas tendre vers +∞).

Edit : Les fonctions que tu proposes sont inutilement compliquées Ordino et pour la 3) ça ne vérifie même pas l'hypothèse.

[invite2c06dc65]

Merci pour les indications ordino

le problème c'est que je n'ai pas encore vu les exponentiels
en revanche le théorème du gendarme j'ai vu, je vais essayer de voir le lien...

skate-for-love974 j'ai pas réussi à faire de raisonnement pour P2, je vais tenter avec le théorème des gendarmes ...

Ma justification pour P1 est-elle juste ?

[invite2c06dc65]

Très bien donc je vais tout reprendre xD
Je comprend mon erreur pour P1, je vais réfléchir qq minutes pour tenter qq chose.

Pour P2 & P3 est-ce bien le théorème des gendarmes qu'il faut utiliser ?

[S321]

Ne vous en faites pas, vous n'avez absolument pas besoin d'exponentielle pour résoudre ça.
De toutes façons ce que donne Ordino ne résout pas l'exercice. Pour le 1) il part du principe qu'il n'existe pas de fonction qui croisse plus vite exp ce qui est faut x->x^x croit encore plus rapidement par exemple. Pour le 3) la fonction ne vérifie pas les hypothèses.

En revanche je confirme, pour la question 2), vous pouvez utiliser le théorème des gendarmes.

Edit : Pour P3 le théorème des gendarmes ne vous donne rien. Il faut que les deux gendarmes aillent au même commissariat pour que la fonction criminelle soit enfermée. 1<f(x)<x+1 devient en +∞ quelque chose comme 1<f(+∞)<+∞ (n'écrivez pas ça dans votre copie, ça n'a rien de rigoureux). Entre 1 et +∞ vous avez de la marge.

Je vous conseil de faire un schéma où vous tracez les courbes y=1 et y=x+1, vous verrez la place que vous avez pour mettre f entre les deux. Ça vous aidera à visualiser les réponses aux questions 1 et 2.

[invite67f41ab0]

Rebonjour,
lim x*e^-x=0
x->inf

car quelque soit la puissance de x multipliant l'exponentielle, l'exponentielle tend plus vite (regarde sur ta calculette graphique)
aussi je pense que tu dois connaître
lim e^x/x=inf
x-> inf

[invite2c06dc65]

Okay =D Merci beaucoup S321 pour ces infos
Je refais l'exo puis ensuite je poste mes réponses...

[S321]

Rebonjour,
lim x*e^-x=0
x->inf

car quelque soit la puissance de x multipliant l'exponentielle, l'exponentielle tend plus vite (regarde sur ta calculette graphique)
aussi je pense que tu dois connaître
lim e^x/x=inf
x-> inf

Vous ne dites plus la même chose, "toute fonction" et "n'importe quelle puissance de x" c'est loin d'être la même chose et ce coup ci vous définissez f, vous aviez l'air de dire que c'était vrai quelque soit la fonction f. Maintenant ce que vous dites est vraie, mais c'est bien trop compliqué.
Vous n'avez pas besoin de quelque chose qui tend plus vite que n'importe quelle puissance de x, simplement de deux puissances de x dont l'une tend plus vite que l'autre.

lim e^x/x=inf est vrai, c'est connu par cœur, mais à démontrer c'est tout de même un tout petit peu technique. Quand on fait un contre exemple on le cherche le plus simple possible.
Et si on veut faire du zèle, on ne cherche pas à exprimer un contre exemple très compliqué (ça c'est de la masturbation intellectuelle), mais à exprimer l'ensemble des contre exemples. Enfin bon, ici ce ne serait pas une mince affaire.

[invite67f41ab0]

Pour la 3) désolé ce que j'ai écrit était pour 0<=f(x)<=1

(il suffit de multiplier et rajouter quelque chose et c'est bon)

[invite2c06dc65]

Réponse pour P2 :

D'après le théorème des gendarmes,

1≤ f(x)≤ x+1 on a 1 et x+1 qui vont vers la meme limite -> 1
Comme 1 et x+1 convergent vers la même limite alors f(x) converge aussi vers 1. On aura donc lim f(x)=1 quand x->0

[S321]

Yep, c'est bon pour la deux.

il suffit de multiplier et rajouter quelque chose et c'est bon

Effectivement, on peut même multiplier par 0.
Pourquoi vous acharnez-vous à vouloir utiliser une fonction qui n'est pas dans le cours de princess_85 ? Son utilisation est ici parfaitement superfétatoire.

[invite2c06dc65]

Yep, c'est bon pour la deux.


Effectivement, on peut même multiplier par 0.
Pourquoi vous acharnez-vous à vouloir utiliser une fonction qui n'est pas dans le cours de princess_85 ? Son utilisation est ici parfaitement superfétatoire.

Je ne vois toujours pas P1 .... =$

[invite67f41ab0]

lim x*(1/x)=1
x->inf

avec f(x)=x
g(x)=1/x

[invite2c06dc65]

Ah ooookay j'ai compris
Merci beaucoup !!
Je vais maintenant pouvoir faire P3 et ensuite bouclé...

[S321]

Ne vous préoccupez pas de mon échange avec Ordino pour cette question, ça ne fera que vous embrouiller.

Pour la P1, vous devez trouver une fonction f qui tend vers +∞ en +∞ et une fonction g strictement positive tel que f(x)g(x) ne tende pas vers +∞ en +∞.
Pas de cas général ou de raisonnement avec f et g, on veut des fonctions explicites.
Vous devez vous doutez que pour g vous allez avoir besoin de quelque chose qui tend vers 0, car il faut neutraliser la croissance de f. C'est d'ailleurs ce dont vous parliez au début, il vous faut juste trouver un exemple qui fonctionne.

Il y a plein de possibilité, ce serait dommage qu'on vous donne une solution. Vous pouvez même faire en sorte que f(x)g(x) soit constante (et donc ça va tendre vers ce que vous voulez).

Edit : Ordino arrêtez d'essayer de donner directement les solutions, ce n'est pas votre exercice et ça n'aide pas princess_85 à progresser. On s'en moque que vous vous ayez compris.
Princess, je vous demande de trouver un autre couple de fonction f et g qui fasse contre exemple, ce n'est pas du jeu si on vous le donne.

[invite67f41ab0]

Ne vous préoccupez pas de mon échange avec Ordino pour cette question, ça ne fera que vous embrouiller.

Pour la P1, vous devez trouver une fonction f qui tend vers +∞ en +∞ et une fonction g strictement positive tel que f(x)g(x) ne tende pas vers +∞ en +∞.
Pas de cas général ou de raisonnement avec f et g, on veut des fonctions explicites.
Vous devez vous doutez que pour g vous allez avoir besoin de quelque chose qui tend vers 0, car il faut neutraliser la croissance de f. C'est d'ailleurs ce dont vous parliez au début, il vous faut juste trouver un exemple qui fonctionne.

Il y a plein de possibilité, ce serait dommage qu'on vous donne une solution. Vous pouvez même faire en sorte que f(x)g(x) soit constante (et donc ça va tendre vers ce que vous voulez).

Edit : Ordino arrêtez d'essayer de donner directement les solutions, ce n'est pas votre exercice et ça n'aide pas princess_85 à progresser. On s'en moque que vous vous ayez compris.
Princess, je vous demande de trouver un autre couple de fonction f et g qui fasse contre exemple, ce n'est pas du jeu si on vous le donne.

oui vous avez raison S321, je n'aurais pas dû donner la réponse directement (c'était ma première aide et je n'étais pas encore habitué), je dois vous laisser moi aussi des devoirs... Bonne continuation princess_85 et S321

Bonne soirée

[S321]

Bah c'est pas grave. Ne vous découragez pas d'aider les gens pour autant.
J'ai peut-être été un peu agressif avec vous, c'est vrai que ça a tendance à m'irriter quand j'essaie de faire preuve de patience et de pédagogie que quelqu'un me massacre mon travail et balance la réponse. Bref, je m'excuse aussi.

Si vous avez besoin d'aide pour vous devoir, n'hésitez pas ^^.

[invite2c06dc65]

Merci et bon courage pour vos devoirs..

Voici un autre exemple pour P1 :

f(x)= 3
g(x) = 1/X
f(x)g(x) = 3/x
lim f(x)g(x) = 0 quand x tend vers +∞

On est obligé d'utiliser la fonction inverse ?
Parce que je ne vois pas d'autre fonction de référence qui permettrait de dire que g(x)>0 et qui permet de changer la limite
parce que :
- la fonction sinus et cosinus impossible
- fonction cube ok mais apres elle ne change rien
- fonction racine pareil .... (c'est pas très évident à expliquer ce jai remarqué)

ce que j'en déduis : nous sommes obligé de prende la fonction inverse
sinon ....je ne vois pas ...

[S321]

N'oubliez pas que vous devez avoir f(x) qui tend vers +∞, sinon c'est trop facile. f(x)=3 ne donne pas un contre exemple valable.

La fonction inverse n'est pas la seule qui soit valable pour g. Vous pouvez aussi prendre 1/x² ou même une puissance plus importante au dénominateur (ce qui fera décroître g d'autant plus vite).
Vous pouvez aussi mettre un polynôme au numérateur si ça vous chante g(x)=(3x+1)/x⁴. Vous pouvez aussi prendre des fonction qui tendent vers 0 un peu plus violemment comme g(x)=1/x^x.

Voir même encore pire, si ça vous amuse vous pouvez définir des fonction vraiment dégueulasse qui tendent vers 0 à une vitesse monstrueuse. Par exemple on définit une fonction h d'abord sur les entiers par h(n)=n^(n^(n...)) avec n exponentiation et on la prolonge sur les réels de manière à ce qu'elle reste croissance (on s'en fout de comment on la prolonge).
h(1)=1, h(2)=2²=4, h(3)=3⁹=19683 et h(4) est si grand qu'il faudrait 154 chiffres pour écrire le nombre de chiffres nécessaire à son écriture.
Et une fois qu'on a ce monstre on peut poser g(x)=1/h(x).

Mais on est pas non plus obligé de faire tendre f(x)g(x) vers quelque chose, on doit juste éviter que ça tende vers +∞. Si on prend f(x)=x et g(x)=(2+cos(x))/x, f(x)g(x)=2+cos(x) qui ne converge pas du tout.

On peut encore faire plein d'autre trucs amusant ^^.

[invite2c06dc65]

Merci pour cette réponse claire & précise !! =D

Voici ma réponse pour P3 :

Si f(x) tend vers +∞ , alors la lim x+1 ne sera pas la meme lim que 1.
Contre exemple : Prenons 6 pour +∞
1≤ f(x)≤ x+1
1≤ f(6)≤ 6+1
Les deux fonctions extérieures ne convergeront pas vers la même limite.
donc lim f(x)= +∞ quand x tend vers +∞ est une proposition fausse.


Ma réponse ne doit pas être exacte mais j'ai essayer de raisonner comme pour P2 avec le théorème des gendarmes....

[S321]

Vous le voyez que la proposition est fausse, vous n'arrivez pas à utiliser le théorème des gendarmes, mais ce n'est pas une preuve ça. On voit bien qu'il y a de la place entre 1 et x+1 (surtout si vous faites un dessin comme je vous l'ai conseillé).

Comme ce que vous voulez c'est montrer que la propriété est fausse, vous n'avez aucun théorème à appliquer. Il vous faut simplement expliciter une fonction f comprise entre 1 et x+1 et qui ne diverge pas vers +∞.

Essayez de trouver une fonction très simple qui soit supérieure ou égale à 1 et qui converge vers 1 (après vous vous assurez en un millième de seconde qu'elle est plus petite que x+1).

Et après ça, comme punition pour m'avoir fait autant bosser je vais vous en demander une autre fonction qui fasse contre exemple sauf que je veux que celle là converge vers 3 (un peu plus dur) et encore une autre qui ne converge pas du tout.
Si vous faites ça, en récompense je vous donnerais une autre fonction comprise entre 1 et x+1 qui ne converge pas qui est continue en 0 et qui n'est continue en aucun autre point.

[invite2c06dc65]

Je commence à desesperer ... =/
J'ai fais un dessin comme vous m'avez conseillé mais l'espace entre les 2 courbes il faut une fonction qui rentre tout le temps de -∞ à +∞ ?

- J'ai bien trouvé une fonction qui converge vers 1 : y= (4/8^x)+1
je pense qu'elle est plus petite que x+1
- Une fonction qui converge vers 3 : y= (4/8^x)+3

[S321]

Non, ça ne fonctionne pas, 8^0=1 donc f(0)=(4/1)+1=5 or il vous faut f(0)=1 (car 1⩽f(0)⩽0+1).

Non, je vous ai demandé une fonction extrêmement simple pour f. On veut une fonction qui vaut 1 en 0, qui vaut 1 en +∞ et qui ne descend jamais en dessous de 1.
Essayez de prendre f la plus petite fonction possible qui vérifie f(x)⩾1, dans ce cas là elle devrait aussi vérifier l'autre hypothèse.

Pour obtenir une fonction qui tend vers 3 ce sera un peu plus compliqué, mais là je vous demande une fonction très simple.
Vous cherchez beaucoup trop compliqué, c'est une erreur que font beaucoup d'étudiants, ils croient qu'il y a des pièges partout et cherchent des trucs compliqués. Pourtant, les maths, c'est simple ^^.