Term S : DM de Maths nombres complexes

[invite42155981]

Bonjour la populace ! =)

Bon voilà, on a un p'tit DM de Maths à faire, et je rame
Je vous pose l'énoncé (on va dire que & c'est théta, vous savez, l'angle dans les coordonnées polaires):

Résoudre dans C l'équation :

2z² - 2(1 + cos&)z + 1 + cos& = 0

où & est un réel appartenant à [ 0 ; Pi ]

Voilà.. On a vu les modules et arguments mais cet exo..
J'ai essayé de calculer delta, ou même de remplacer cos& par x/V(x²+y²) [avec V = racine, car cos& = x/r, et r=V(x²+y²)], mais je sais pas où ça me mène, et je trouve ça trop compliqué..

Un peu d'aide siouplé ? Merci d'avance ^^ Y'a un 2ème exo après, une histoire de dérivées sans nombres complexes, j'ai pas encore essayé mais si je rame aussi je demanderai :P
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

C'est z qu'il te faut trouver ici. Tu as un polynôme du second degré sans racine évidente: il faut en effet commencer par l'approche classique du discriminant. Bien sûr celui ci dépendra de , et il faudra discuter de son signe en fonction de la valeur de .

Commence donc par poser pour simplifier l'écriture, et attaque ton problème comme un classique problème de trinôme.

Bon courage.

[invite42155981]

Bon alors p=1+cos& . donc p est toujours supérieur ou égal à 0, car cos& appartient à [-1;1] vu que & E[0;Pi]. (on peut même dire que p est compris entre 0 et 2 inclus.)

Alors delta = 4p²-8p

et pour savoir le signe de ce delta, j'ai calculé un delta' :
p'1 = 0 et p'2=2
et puisque a=4, 4p²-8p est positif à l'extérieur des racines, mais l'équation avec p est définie sur [0;2].
Donc delta est négatif sur [0;2].

Ainsi, delta a deux solutions :
p1 = (-b-iV-delta)/2a et p2 = (-b+iV-delta)/2a

ce qui nous fait p1=(2p-iV(-4p²+8p))/4 et p2=(2p+iV(-4p²+8p))/4



Et après... euh.. ^^' ça me paraît compliqué tout ça..

[invitee4ef379f]

Tu te compliques bien la vie. Une simple factorisation suffit pour discuter du signe de 4p²-8p...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42155981]

Hum oui c'est vrai..

delta = 4p²-8p = 4p(p-2)
4p est toujours positif, p-2 est toujours négatif, donc delta est toujours négatif.

Admettons.. mais mes solutions restent les mêmes non? ^^'

p1=(2-iV(-4p(p-2)))/4 et p2=(2+iV(-4p(p-2)))/4

et... c'est tout? Doit pas y avoir autre chose à faire? ^^' (Merci déjà pour votre aide )

[invitee4ef379f]

Attention n'oublie pas les cas où p=0 et p=2...

Admettons.. mais mes solutions restent les mêmes non? ^^'

p1=(2-iV(-4p(p-2)))/4 et p2=(2+iV(-4p(p-2)))/4

Je ne sais pas si ce sont les mêmes, je n'avais pas pris la peine de lire tes précédentes solutions

En réalité tu avais fait, et tu continues de faire un gros amalgame; c'est pour cela que je ne les avais pas lues. Sois précis dans tes notations. Par exemple tu appelles tes solutions p1 et p2, alors que ta variable s'appelle z: il n'y a pas de logique là dedans.

Ainsi, delta a deux solutions :
p1 = (-b-iV-delta)/2a et p2 = (-b+iV-delta)/2a

ce qui nous fait p1=(2p-iV(-4p²+8p))/4 et p2=(2p+iV(-4p²+8p))/4

En effet c'est bien ce que tu avais écrit, mais va savoir pourquoi c'est maintenant delta qui a des solutions, alors qu'il s'agit d'un nombre que l'on définit et que l'on appelle discriminant: ce n'est même pas une équation!

et... c'est tout?

Bah c'est déjà pas mal!

Doit pas y avoir autre chose à faire? ^^' (Merci déjà pour votre aide )

Si, il faut réintroduire le dans tes solutions afin de les simplifier.

Et n'oublie pas d'être logique et précis dans tes notations, c'est vraiment important.

Bon courage!

[invite42155981]

Euh ouais pardon, je m'étais un peu emmêlé les pinceaux, j'aurais dû mettre z1 et z2, faire tout ça dans des brouillons et ces histoires de théta ça m'a bien embrouillée ^^'. Donc cette équation a comme solutions z1 et z2 (que je vais pas répéter ). enfin.. si je remplace les p par 1+cos& je trouve..

z1= (2-iV(4-3cos&-cos²&))/4 et z2=(2+iV(4-3cos&-cos²&))/4

j'arrive pas à simplifier plus :/

[invitee4ef379f]

OK bon je vais t'aider.

Ceci dit je viens de me rendre compte que les solutions que tu m'as données sont fausses.

Reprenons; tu dois résoudre l'équation suivante:


En posant , on transforme l'équation en


Le discriminant s'écrit:


Puisque , le discriminant est soit nul soit négatif.

Dans le cas négatif, quelles sont les solutions?

[invitee4ef379f]

Les solutions que tu m'as données sont presque exactes, il manque juste un petit quelque chose. Quand ensuite tu remplaces p par , tu dois remarquer quelque chose sous le radical. Un coup d'œil du côté des formules de trigonométries te permet de simplifier tout ça.

Bon courage.

[invite42155981]

En posant

Puisque , le discriminant est soit nul soit négatif.

Je ne comprends pas: theta est compris entre 0 et pi. Donc cos theta est forcément compris entre -1 et 1, non? C'est de là que j'en déduis que ..

[invitee4ef379f]

Oui oui tu as raison, excuse moi.

Il n'empêche que les solutions que tu m'as données sont fausses.

N'hésite pas si tu ne parviens pas à finir.

[invite42155981]

Sinon j'ai trouvé :

p=0 si cos&=-1, c'est à dire si & = Pi.
p=2 si cos&=1, càd si & = 0.

Et si p=0 ou p=2, delta=0 ---> autrement dit, si & = 0 ou Pi, z a une solution :
z0= -b/2a=2p/4=p/2
z0=(1+cos&)/2




Mais du coup, puisque dans ce cas cos& = -1 ou 1, je peux dire que
z0=0 ou 1 ?

[invitee4ef379f]

Oui c'est exact.

Bon en réalité il n'est pas nécessaire de faire ces deux cas particuliers parce qu'il suffit de remplacer le discriminant de ton trinôme par 0 dans les solutions complexes pour arriver au même résultat, mais il est d'usage de le faire.

Que trouves tu comme solutions complexes??

[invite42155981]

La formule que j'ai utilisée lorsque delta est négatif (ce qui est toujours le cas sauf lorsque &=0 ou Pi) est celle-ci :



(et z₂=-b+i... Je vais parler que de z₁ vu que ça revient au même pour z₂ ^^')

C'est à partir de là que j'ai dit que.. ah tiens j'ai oublié un p..


et après j'ai remplacé les p par 1+cos& :







Ouais, en fait sur les posts précédents j'avais fait des jolies erreurs de calcul.. et y'a une formule qui dit que cos²a=(1+cos2a)/2
donc





Du coup c'est beaucoup mieux comme ça, héhéhéhé... Y'a moyen de simplifier encore? (j'ai un peu de mal avec les cosinus :/) Enfin, si je me suis pas encore trompée.


P.S: Désolée pour le double post.. ah quoique vous venez de répondre au moment où je poste

[invitee4ef379f]

C'est à partir de là que j'ai dit que.. ah tiens j'ai oublié un p..

En effet

C'est mieux!

et après j'ai remplacé les p par 1+cos& :

Ok arrêtons nous là. La suite me semble correcte, mais il y a plus simple à faire ici. En factorisant ce qui est sous le radical par 4, quelle expression voit-on apparaître? Par quoi cela se remplace-t-il? (c'est du Pythagore)

La suite n'est qu'une simplification triviale.

Bon courage.

[invite42155981]

Ben... 1-cos²a=sin²a ?






hmm... doit y avoir un truc pour simplifier mais j'vois pas quoi

[invitee4ef379f]

Ah bah voilà, on se rapproche!!

Allez poussons le vice jusqu'au bout: que nous dit M.Euler sur les exponentielles complexes?

[inviteaf48d29f]

C'est déjà pas mal. Vous pouvez peut-être développer le "/2" entre la partie réelle et la partie imaginaire, ça fait plus joli pour présenter un nombre complexe.

Sinon vous avez aussi (1+cos&)/2=cos²(&/2) si vous voulez, mais je pense que la première forme est préférable.

edit : Ouhla oui, Euler, je l'oubliais celui là. Bon il est temps que j'aille me coucher moi !

[invite5150dbce]

ah bah voilà, on se rapproche!!

Allez poussons le vice jusqu'au bout: Que nous dit m.euler sur les exponentielles complexes?

avec ça, s'il trouve pas

[invite42155981]

Vous pouvez peut-être développer le "/2" entre la partie réelle et la partie imaginaire, ça fait plus joli pour présenter un nombre complexe.

Je préfère faire ça à la fin :P

euh, exponentielle complexe?.. Euler je vois un peu ce que c'est mais j'ai pas souvenir avoir vu les exponentielles dans les complexes..
Oh, je vois, d'après wikipédia :

exp(ix) = cos(x) + isin(x)
->exp(a+bi)=exp(a)x(cos(b)+isin (b)) où a et b sont des nombres réels.

Ah mais c'est intéressant ça xD Je crois pas avoir vu ça en cours, ou alors j'ai oublié. Je dois simplifier en m'aidant de ça ? ou c'est autre chose ? (je calculerai plus tard j'ai pas le temps là ^^)

[invitee4ef379f]

La formule d'Euler c'est en effet:



Ce qui te permet de reformuler tes solutions. Ceci dit si tu ne l'as pas vu en cours, ce n'est pas la peine de l'appliquer ici. Il ne te reste plus qu'à présenter tes solutions comme S321 te l'a proposé.

Bonne continuation.

[invite42155981]

Moui, je pense que la prof va se servir de cet exo pour introduire cette formule ^^ (oupa)

Voilà, j'ai réussi à clarifier tout ça sur une feuille grâce à vous

J'ai dit que delta était inférieur ou égal à 0, et que z avait donc 2 solutions pour tout & appartient à [0;Pi] :

z₁=(1+cos&)/2 - sin&/2*i
z₂=(1+cos&)/2 + sin&/2*i

Je pense que ça devrait passer là je pense, au pire c'est pas vraiment noté mais bon

Merci beaucoup pour votre aide !

P.S: Maintenant j'ai un petit problème pour l'exercice 2 du DM avec une double dérivée où je trouve qu'elle s'annule pas aux mêmes endroits que le livre dit.. Je rouvre un nouveau sujet?