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Limites de fonction



  1. #1
    thyris

    Limites de fonction

    Bonsoir!
    J'ai un DM à faire et j'aurais besoin d'un petit coup de main pour une ou deux questions, si vous avez le temps...
    Soit la fonction f définie sur R\{1} par:
    f(x) = (x3-4X2+8x-4)/(x-1)2 et Cf sa courbe représentative.

    1) Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. Que peut-on en déduire pour la courbe Cf ?

    2)a. Déterminer les réels a, b, c et d tels que pour tout réel x différent de 1, f(x) = ax+b+[(cx+d)/(x-1)2]
    b. En déduire que la droite D d'équation y=x-2 est asymptote à la courbe Cf.
    c. Préciser la position de Cf par rapport à D et les coordonnées de leur point commun I.

    3) On admettra que f'(x)=[x2(x-3)]/(x-1)3
    En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations.

    4) Représenter la courbe Cf avec ses asymptotes et ses tangentes horizontales.

    Mes résultats:
    1) c'est une forme indéterminée donc on factorise, j'ai trouvé f(x)=[x3-4(x-1)2]/(x-1)2

    On pose g(x)=x3-4(x-1)2
    On calcule g'(x), on trouve un delta négatif => pas de racine, et on montre que g'(x) est strictement positive avec par exemple g'(1)=3.

    Mais comment faire le lien avec f(x) et comme trouver leurs limites?

    2)a. C'est bon, j'ai trouvé a=1; b=-2; c=3 et d=-2.

    b.Comment calculer lim f(x)/x ? Je n'arrive pas à un résultat plausible... Des fractions de fractions que je n'arrive pas à simplifier, etc...

    c. D est au-dessus de Cf pour ]-inf;1[
    D est en-dessous de Cf pour ]1;+inf[
    f(x)-y=0 pour x=1667/2500, mais je n'arrive pas à trouver les calculs qui y aboutissent, j'ai cherché grâce à ma calculette graphique et au tableau de valeurs.

    Je bloque pour la 3, et la 4 ira de soi, normalement...
    Je sais, ça ne fait pas beaucoup...

    -----


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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Limites de fonction

    Je ne vois pas ce que vient faire l'étude de la variation de la fonction g(x) ni à quoi elle sert.
    Pour connaître le comportement à l'infini, on met en facteur en haut et en bas le terme de plus haut degré et on simplifie. Ici on voit que f(x) va se comporter comme x donc il tend vers + infini quand x tend vers + infini et inversement.

    Ensuite pour l'asymptote, tu as calculé la distance entre la courbe et son asymptote, elle tend vers zéro aux 2 bouts, évidemment ! Mais tu vois bien que C et D se coupent en x = -2/3. Ailleurs, selon que 3x + 2 est positif ou négatif, la courbe sera au-dessus ou au-dessous.
    f(x)/x est inutile puisque tu connais l'asymptote.

  4. #3
    thyris

    Re : Limites de fonction

    Merci, mais je suis désolée, je ne comprends toujours pas pour la limite de f(x)! On factorise par (x-1)^2, c'est ça? Mais après, pourquoi cela tenderait vers +inf en +inf? Parce que [x^3-4(x-1)^2]/(x-1)^2 est une forme indéterminée, non? Comment changer encore la forme?

  5. #4
    thyris

    Re : Limites de fonction

    Et pour le calcul de f(x)-y, ça n serait pas plutôt 3x-2?

  6. #5
    Plume d'Oeuf

    Re : Limites de fonction

    Bonjour,

    f s'écrit sous la forme d'un quotient de polynôme. L'idée que Jeanpaul avance pour trouver la limite à l'infini d'une telle fraction (appelée rationnelle), c'est de factoriser le polynôme du numérateur par son terme de plus haut degré et celui du dénominateur par son terme de plus haut degré. La fraction devient ensuite simplifiable.

    Par quel terme vas-tu factoriser le numérateur? Et le dénominateur? Comment se simplifie la fraction?

    Un conseil: développe complètement le dénominateur avant.

    Bon courage.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    thyris

    Re : Limites de fonction

    on factorise le numérateur par x^3 et le dénominateur par x^2? Du coup, on a x^3/x^2 = x?

    En tout cas, merci de votre aide, elle m'est très précieuse...

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  10. #7
    thyris

    Re : Limites de fonction

    Je viens de résoudre la question 3 et du coup, la 4! Merci beaucoup pour votre aide, j'ai quasiment fini, je finirais bien par y arriver! Merci beaucoup et bonne soirée à vous tous! ^^

  11. #8
    Plume d'Oeuf

    Re : Limites de fonction

    Il semblerait que tu aies compris. N'hésite pas si tu as d'autres questions .

    Bonne continuation.

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