Dm sur les Congruances (Spé maths)

[invite4377d966]

Bonjour tout le monde,

J'ai un petit problème avec cette exercice pour mon dm:

1.Trouver, suivant les valeurs de n, les restes de la division euclidienne de 5ⁿ par 13. Je bloque complètement, je ne comprend pas tout à fait la question

2.En déduire que 1981¹⁹⁸¹-5 est divisible pas 13. Pas encore cherché, vu que je n'ai pas réussi la 1

3.Démontrer que pour tout entier naturel n>ou=1; le nombre N=31⁴ⁿ⁺¹+8⁴ⁿ⁺¹ est divisible pas 13
Le -1 du 8⁴ⁿ⁺¹ me pose problème...

Merci beaucoup pour votre aide
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[RoBeRTo-BeNDeR]

bonjour,
pour la 1) ( le = sera signe de congruence)

5^0=1[13] , 5 = 5 [13] , 5^2=25=12= -1[13] ,
5^3=-1x5=-5=8 [13] , 5^4=8x5=40=1[13] , 5^5=5[13]
donc tu peux montrer que la suite des restes dans les divisions euclidiennes est périodique de période 4 avec Un la suite des reste par 13 de 5^n et écris bien u1, u2, ... , u5

(les termes soulignés sont les restes )

Cherche à faire la 2 maintenant.

[invite4377d966]

Merci de ta réponse, mais je ne comprend pas très bien. J'avais remarqué cette période, mais comment exprimer ces restes en fonction d'une suite?

Edit : Pourrai-je rédiger les choses de cette façon:

Pour n = 0 (modulo 4), Le reste de 5^n / 13 est 1
Pour n = 1 ...

[invite4377d966]

Merci pour ton aide RoBeRTo-BeNDeR, J'ai réussi les questions 1 et 2, je sèche complètement pour la dernière par contre... Je n'y arrive pas avec un raisonnement pas récurrence, et la méthode traditionnelle de séparer les 2 parties pour trouver deux chiffres congrus opposées qui vont s'annuler lors de l'addition ne marche pas non plus à cause du 18^4n-1. Le -1 pose problème..

Need help

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

Si l'énoncé dit 8⁴ⁿ⁺¹ pas de problème. Mais si c'est 8^4n-1 il y en a un.
Or il y a une différence entre l'introduction de ton post et ton dernier commentaire.

[invite4377d966]

Désolé, c'est bien -1... Je ne trouve pas le bouton éditer..

[invite4377d966]

Vraiment personne peux m'aider et me donner une piste?

[RoBeRTo-BeNDeR]

Quel est ton énoncé?
Démontrer que pour tout entier naturel n>ou=1; le nombre N=31^(4n+1)+8^(4n-1) est divisible par 13 car là c'est un peu ambigüe

[invite4377d966]

Désolé, mais je n'arrive pas à éditer, et donc mon énoncé est :

Démontrer que pour tout n>1, 31⁴ⁿ⁺¹ + 18^4n-1 = 0 [13]

J'ai en faite réussi avec la récurrence, j'avais fait une faute de calcul.
Le problème c'est que je n'utilise pas le rang "p" pour démontrer que le rang "p+1" est vrai ( C'est à dire 31^4p+5 + 18^4p+3 = 0 [13] (avec = pour congru))
C'est grave?

[RoBeRTo-BeNDeR]

Ben si tu ne l'utilise pas c'est que ce n'est pas utile donc pas de démonstration par récurrence. C'est une démonstration directe que tu as dû faire.

[invite4377d966]

Ah oui... mais c'est bon, j'ai trouvé une "feinte" pour introduire le rang "p" dans la démo du rang p+1. Merci pour votre aide en tout cas!