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discontuite d'une fonction



  1. #1
    einstein02

    discontuite d'une fonction


    ------

    soit f unefontion sur R tel que

    f(x)=2-x si x appartient a R-Q
    f(x)=x² si x appartient a Q
    etudier la continuite de f sur R
    est ce que qq pouurait me donner quelques indices j'ai demontre la continuite en -1 et 2 mais je n'ais demontre la discontinuite dans le reste

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    S321

    Re : discontuite d'une fonction

    Bonsoir,
    ça fait toujours mauvais effet sur Futura lorsque vous commencez une discussion par le mot "soit". Mais bon, passons.

    En gros votre fonction ne sera continue que lorsque x²=2-x.

    Vous prenez un réel x quelconque qui n'est pas solution de cette équation, deux cas sont possible soit x est rationnel, soit il ne l'est pas. Les deux cas sont très similaires, moi je vais supposer x rationnel (vous devrez bien sûr aborder les deux).

    f(x)=x², supposons par l'absurde f continue en x, alors lim f(t)=x² lorsque t tend vers x. Si je prend une suite d'irrationnels qui converge vers x (pourquoi ai-je le droit d'en prendre une ?) et que j'étudie la limite de leurs images par f, quel problème se pose ?

  4. #3
    einstein02

    Re : discontuite d'une fonction

    merci pour ta reponse
    seulement on a pa encore aborde la covergence des suites donc je peux pas l'utiliser
    il est vrai que le prof nous a indique d'utiliser la densite de Q etR-Q dans R
    mais je n'ai pas su comment trouver une contradiction en appliquant la definition des limite

  5. #4
    S321

    Re : discontuite d'une fonction

    J'avais oublié qu'il y a une définition de la densité qui n'est pas séquentielle. Pour moi la densité étant une notion séquentielle, j'ai n'ai pas pensé que vous ayez pu voir ça avant la convergence des suites.

    Bah, de toutes façon ça devrait marcher directement avec la définition de la limite.
    Donc, qu'on soit bien d'accord, on dit que f admet une limite l en x0 si pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que si |x-x0|<δ alors |f(x)-f(x0)|<ε.
    Cette fois j'espère qu'on est d'accord sur la définition, parce que là je ne vois pas d'autre définition de la limite .

    A partir de là c'est très simple, on prend un ε > 0 (suffisamment petit pour que |x0²+x0-2|>ε) et on montre que jamais un δ (quel qu'il soit) ne pourra marcher car il y aura toujours un irrationnel suffisamment près de x0 pour que ça ne fonctionne plus.

    P.S : Ce genre de démonstration me rappel beaucoup ce qu'on fait à outrance en première année de prépa, ça me parait bizarre en terminale. Bref, comprenez-vous quelque chose à ce que j'ai écris ? ^^

  6. #5
    einstein02

    Re : discontuite d'une fonction

    merci bcp pour l'indication

    oui tu as raison mais le prof nous a dit que faire ce genre d'exo nous facilitrera la tache l'annee prochaine donc si tu connais un site qui attaque ce genre d'exo je te serais humblemnt reconaissant de me le passer

  7. A voir en vidéo sur Futura

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