Etude de signe

[invite98f6cfb4]

Salut à tous, j'aurai besoin d'un peu d'aide s'il vous plaît.


Soit la fonction x ---> (x+1) / (x^3 - 1). Soit Cf sa courbe représentative.

Étudier la position relative de Cf et de la tangente au point d'abscisse - 1 .

Je trouve comme tangente au point d'abscisse -1 : y = -1/2x - 1/2

On étudie pour la position relative f(x) - y.

On a (x+1) / (x^3 - 1) - ( -1/2x -1/2)
Je trouve sauf erreur de ma part (et je suis sûr qu'il n'y a pas d'erreurs).

x^4 + x^3 +x + 1 / (2(x^3 -1) )

Comment étudier le signe de cette chose ? lol.
Le problème, c'est comment étudier proprement le signe de x4 + x3 +x + 1 qui est toujours positif (ce que je constate avec ma calculatrice), il s'annule également en -1 mais bon c'est pas important.

Merci d'avance.
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Et si je te dis que -1/2x - 1/2 = (-1/2)*(x+1), cela t'aide-t-il ?

Duke.

[Jeanpaul]

Le problème, c'est comment étudier proprement le signe de x4 + x3 +x + 1 qui est toujours positif (ce que je constate avec ma calculatrice), il s'annule également en -1 mais bon c'est pas important.

Mais si ! C'est très important. Comme c'est une tangente, cette quantité s'annule même 2 fois en x=-1, autrement dit, on peut mettre (x+1)² en facteur. Ce qui reste est du second degré et le signe s'étudie facilement.

[invite98f6cfb4]

Mais si ! C'est très important. Comme c'est une tangente, cette quantité s'annule même 2 fois en x=-1, autrement dit, on peut mettre (x+1)² en facteur. Ce qui reste est du second degré et le signe s'étudie facilement.

Merci, j'ai donc par identification trouvé :

(x+1)² (x²-x+1).

Mais cependant, je n'ai pas compris comment tu le sais qu'il s'annule deux fois et pourquoi le fait qu'il s'annule deux fois nous fait mettre (x+1) au carré ?


Sinon j'avais déjà posté ça dans un autre forum mais je n'ai eu aucune réponse, pouvez vous me dire si cette méthode (assez longue) http://www.maths-forum.com/etude-signe-111851.php est quand même juste ? Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Comme la courbe et la tangente passent par le point d'abscisse -1, la moindre des choses est que leur différence s'annule en ce point.
La tangente est un point double, on l'obtient par une droite sécante en 2 points qui se rapprochent de plus en plus (c'est la définition de la dérivée).
Ensuite, on sait que quand a est racine d'un polynôme, on peut mettre (x-a) en facteur, c'est comme une division : quand 6 est divisible par 2, je sais que je puis écrire 6 = 2 fois quelque chose qui sera un entier (3 ici).
Pour la racine double, montrer que (x-a)² est en facteur est plus délicat, ça fait appel aux développements limités.

[invite98f6cfb4]

Ok merci, mais j'aurais pu dire aussi que c'est factorisable par (x+1) et donc on a :

x^4 +x^3 +x +1 = (x+1)(x^3 +1) par identification.

Tableau de signe :

x+1 s'annule en -1
x^3 +1 s'annule en -1


Sur] -Inf; -1[ , c'est négatif pour les deux, le produit est positif.

Sur [ -1 ; +inf[ , c'est positif pour les deux, le produit est positif.

Et on s'y retrouve .