Maths : Exponentielle , position de coube.

[invite51a6847e]

Bonjour , j'ai un exercice d'études de plusieurs fonctions à faire mais la dernière questions de cette exercice me pose problème , la voici :


Conjecturer la position des courbes et la prouver.

Ils s'agit de deux fonctions étudiées soit : f(x)= xe^x et g(x) = x/e^x .

J'ai conjecturer que xe^x était au dessus de x/ê^x .

Mais prouver cette conjecture me pose problème et j'ai donc besoin de votre aide :

Soit f(x)-g(x)> 0
f(x)-g(x) = xex-x/ex
= x (ex-1/ex)

Mais aprés je bloque, je pense que je dois faire une étude de signe et voir quand c'est superieur ou égal à 0 néanmoins faire cela avec x (ex-1/ex) semble proche du bricolage non ?
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[NicoEnac]

Bonjour,

Si f(x) > 0 et g(x) > 0, que nous enseigne f(x)/g(x) sur la position des deux courbes ?
Si f(x) < 0 et g(x) < 0, que nous enseigne f(x)/g(x) sur la position des deux courbes ?
Que vaut f(x)/g(x) ?
Pour quelles valeurs de x, f(x) > 0 ?
Pour quelles valeurs de x, g(x) > 0 ?

Que peut-on en conclure ?

[invite2103f7d3]

Pour le début tu as bien trouvé ce qu'il fallait.
Maintenant tu n'as plus qu'à étudier le signe de la fonction


Que tu peux appeller h par exemple pour simplifier tes calcul.
Note :

Je te rappelle que la méthode est de calculer la dérivée, dont tu déduis les variations etc.

[invite51a6847e]

Que vaut f(x)/g(x) ? Soit (x(xe^x)) / e^x

Pour quelles valeurs de x, f(x) > de ]-1,+inf[

Pour quelles valeurs de x, g(x) > De ]1,+inf[

D'aprés mes tableaux de variation réalisé plus tôt .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51a6847e]

Pour le début tu as bien trouvé ce qu'il fallait.
Maintenant tu n'as plus qu'à étudier le signe de la fonction


Que tu peux appeller h par exemple pour simplifier tes calcul.
Note :

Je te rappelle que la méthode est de calculer la dérivée, dont tu déduis les variations etc.

Dans l'étude des fonctions j'ai déja calculé les dérivée de xe^x et x/e^x , cela peut m'aider non ?

Je ne comprend pas également pourquoi aditionner au lieux de sourstraire ? Vu qu'on doit aboutire au fait que f(x)>g(x) donc que f(x)-g(x) positif

[NicoEnac]

Que vaut f(x)/g(x) ? Soit (x(xe^x)) / e^x

De plus les fonctions sont positives sur [0;+infini[ et négatives sur ]-infini;0]. Or f(x)/g(x) > 1 et que les fonctions sont positives => f est au dessus de g et f(x)/g(x) < 1 et que les fonctions sont négatives=> f est au dessus de g.

Or e^2x > 1 sur ... et <1 sur ... donc...

Je te laisse remplir les blancs.

[invite51a6847e]

De plus les fonctions sont positives sur [0;+infini[ et négatives sur ]-infini;0]. Or f(x)/g(x) > 1 et que les fonctions sont positives => f est au dessus de g et f(x)/g(x) < 1 et que les fonctions sont négatives=> f est au dessus de g.

Or e^2x > 1 sur ... et <1 sur ... donc...

Je te laisse remplir les blancs.

Or e^2x > 1
=> 2x>1
=>x>1/2

et 2x<1
x<1/2

donc G(x) > f (x) donc au dessous sur ]-INF,1/2[ et f(x) > g (x) sur ]1/2,+inf[ ?

[NicoEnac]

Or e^2x > 1
=> 2x>1

Quelle horreur ! e^2x > 1 => 2x > 0 => x > 0 !

Sur ]-infini;0], f et g sont ... et f(x)/g(x) est ... => ... est au dessus de ...
Sur ]0;+infini], f et g sont ... et f(x)/g(x) est ... => ... est au dessus de ...

[invite51a6847e]

Sur ]-infini;0], f(x)/g(x) est < 1 => g est au dessus de f
Sur ]0;+infini], f(x)/g(x) est >1 => f est au dessus de g

[NicoEnac]

Sur ]-infini;0], f(x)/g(x) est < 1 => g est au dessus de f
Sur ]0;+infini], f(x)/g(x) est >1 => f est au dessus de g

Ca commence à n'énerver là... Pourquoi tu ne reprends pas mot pour mot ce que j'ai écrit plus haut et tu ne complètes pas les blancs ?

Ce que tu as écrit est faux.

[invite51a6847e]

C'est parce que je ne vois pas ce que tu attend. :s Désolé de t'énerver .

[invite51a6847e]

Quelle horreur ! e^2x > 1 => 2x > 0 => x > 0 !

Sur ]-infini;0], f et g sont positive et f(x)/g(x) est > 1 => f est au dessus de g

Sur ]0;+infini], f et g sont négative et f(x)/g(x) est <1 => g est au dessus de f

ça va là ?