comparer e^x et ln(x)

[invitec8d113ca]

Bonsoir à tous!


Je viens vous demander de l'aide car j'ai un exercice à faire mais je bloque complètement dessus je n'ai fait que la première question a) et encore...c'est vous dire. J'espère vraiment que quelqu'un pourra m'aider.

Voici l'énoncé :

f est la fonction définie sur ]0;+oo[par :
f(x) = e^x - ln(x)
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique: 2cm)

1a/ Etudier les variations de la fonction a définie sur R
par a(x)=xe^x-1.

1b/ En déduire qu'il existe un réel unique b tel que be^b=1.
Donner un encadrement de b d'amplitude 10^-3

1c/ Préciser le signe de a(x) suivant les valeurs de x.


2a/ Etudier les limites de f en 0 et en +oo.

2b/ Etudier les variations de f. Dresser son tableau de variation

2c/ Montrer que f admet un minimum m egal à b+b^-1.
Justifier que 2,32<m<2,34

3/ Donner une équation de la tangente T à C ( courbe représentative de f ) au point d'abscisse 1. Determiner le point d'intersection de T et l'axe des ordonnées.

4/ Tracer T et C

Merci d'avance pour votre aide précieuse!

Alex
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[invitedb5bdc8a]

et qu'est-ce que tu as fait pour le 1a) ?

[invitec8d113ca]

Bonsoir!
Tout d'abord, merci beaucoup de répondre à mon message...je commencer à desespérer! ^^
Pour la question 1.a) on nous demande d'étudier le sens de variation de g
je calcul donc d'abord g'(x)=3x²-2*1/x
on fait alors une étude de signe de la dérivée mais là je bloque un peu car je n'arrive pas à la faire. On sait qu'un carré est toujours positif donc 3x² sera toujours positifs sur ]0;+oo[
Pour 2/x je sais pas trop...2/x=0 --> x=1/2

[invitedb5bdc8a]

dans ton énoncé je ne vois pas de fonction g mais une fonction a.
en supposant une faute de frappe on a donc g(x)=xe^x-1.
explique moi comment tu calcule la dérivée pour trouver 3x²-2*1/x

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec8d113ca]

Je suis vraiment désolé, c'est parce que je travaille sur 2 exos en même temps et justement j'ai répondu pour l'autre...bon je vais me concentrer sur celui la!
je reprends
a'(x)=1*e^x-1=e^x
l'étude de signe de a'(x) est:
positif en -oo
égale à 0 en 1
positif sur +oo

D'après le tableau de signe, on en déduis les variations de a(x) qui sera toujours croissante et en x=1, on a 0
c'est mieux non?

[invitedb5bdc8a]

je ne suis pas d'accord avec ton calcul de dérivée
a(x) = xe^x-1 se dérive comme un produit de fonctions.

[invitec8d113ca]

cela signifie que a(x)=u-v
avec u(x)=xe^x --> u'(x)=e^x
et v(x)=1 --> v'(x)=0
c'est bien cela?

[invitedb5bdc8a]

non, a(x)=u(x)v(x) + constante.
la constante disparaitra à la dérivation.
u(x)=x
v(x)=e(x)

[invitec8d113ca]

oui d'accord on a alors a'(x)=1*e^x+x*e^x
e^x est strictement croissante
x est strictement croissante sur ]0;+oo[

donc a(x) est croissante

[invitedb5bdc8a]

oui on pouvait le voir aussi par composition de fonctions mais visiblement ça valait le coup de te faire calcuelr cette dérivée.
Combien vaut a(0) ?
Quelle est la limite de a en l'infini ?
que peut on en conclure pour l'équation a(x)=0 ?

[invitec8d113ca]

oui effectivement, j'avais fais une grosse erreur. Je me trompes souvent sur les dérivées...=/ sinon pour les 3 questions que vous m'avez posé je trouve
a(0)=-1
lorsque a tend vers +oo, sa limite est +oo
pour l'équation
a(x)=0
xe^x -1=0
x*e^x=1
ln(x)*ln(e^x)=ln(1)
ln(x)*e^x=0
e^x=-ln(x)
pour l'équation je ne suis pas sûr de moi

[invitedb5bdc8a]

en fait je pensais déjà à l'existence d'une solution pour l'équation a(x)=0 et à son unicité.
C'est le b de la question suivante.
Maintenant tu as fait des erreurs:
x*ex=1
ln(x)*ln(ex)=ln(1). Non ln(a*b)=ln(a)+ln(b)
ln(x)*ex=0. Non ln(e^x)=x
mais ce calcul n'était pas utile à ce point de l'exercice

[invitec8d113ca]

pour la b) on peut dire que pour tout réel x quelconques on aura une seule image f(x) mais je ne pense pas que ce soit suffisant...

[invitedb5bdc8a]

non, tu dois avoir un théorème dans ton cours à propos de fonctions monotone (croissante ou décroissante) sur un intervalle.

[invitec8d113ca]

désolé mais la je vois pas du tout...=/

[invitedb5bdc8a]

c'est dommage parce que c'est de ça que tu as besoin pour faire le 1b/. Le théorème des valeurs intermédiaires par exemple il me semble.