Tan x

[invitea86014ac]

Bonjour à tous,


Pourquoi peut on dire que tan x = x
Lorsque x est petit ??

Je n'ai rien trouvé sur le net... Merci
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[invite332de63a]

Bonjour, ceci traite d'une notion de bac+1 appelée développement limité mais pour faire simple :



donc x et tan x sont a peu près de même valeur au voisinage de 0

RoBeRTo

[invitea86014ac]

Merci bien

[invite2103f7d3]

Pour répondre à ta question j'aimerai d'abord savoir si tu déjà entendu parlé de "développement limité" ou "développement en série" car c'est une suite de théorème d'analyse si puissant qu'il permmetent entre autre de dire que quand

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Le problème de la limite donnée par RoBeRTo, c'est qu'elle fait aussi appel à des concepts du supérieur.

Une façon plus adaptée de voir les choses en terminale, c'est de dessiner un cercle trigonométrique: soit le cerlce de centre O et de rayon 1. Soient A et B deux points proches du cercle, et soit H le projeté orthogonal de B sur (AH).

On nomme l'angle (OA, OB). La tangente de l'angle est donnée par:


Quand les points A et B sont proches, l'angle est petit, et on peut écrire:



(géométriquement, il est facile de montrer que (BH, BA)= , or l'angle étant petit le terme devient petit devant )

De la même manière, on peut écrire:


( étant petit, )

En revenant à la tangente, on trouve:


Toujours en considérant les deux points A et B proches, on peut confondre la longueur AB avec celle du petit arc de cercle compris entre ces deux points. Or par définition, la longueur de cet arc de cercle est donnée par , puisque le rayon du cercle vaut 1 (r est le rayon du cercle).

Finalement, on obtient bien aux petits angles:


Bonne continuation.