limites

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous
comment montrer que lim(x*cos(x))=0 quand x tend vers 0 ?
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[invite332de63a]

bonjour, quelle est la limite de cos(x) quand x tend vers 0 ? en gros cos(0)
et pour x ? Fait en leur produit
Cette fonction par ailleurs est totalement définie en 0 donc si tu calcules sa valeur tu trouvera sa limite car elle sont confondues. On utilises les limites plutôt lorsqu'il y a un cas indéterminé

RoBeRTo

[inviteda3529a9]

Merci de votre réponse
Mais je voulais savoir comment montrer que lim(x*cos(1/x))=0 quand x tend vers 0 ?

[invite332de63a]

Alors cosinus est une fonction bornée par -1 et 1 donc par le théorème de gendarmes :


donc :
donc :
donc :

RoBeRTo

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteda3529a9]

merci beaucoup
J'aurai une autre question à vous poser:
Comment démontrer que la représentation graphique de la fonction
f(x)= racine(1-x²) est un demi - cercle ?

[invite2cc04abc]

Bonjour

Je te propose une petite démonstration sans connaitre l'équation générale d'un cercle.

Déja, ta fonction f est une fonction racine, cela veut dire que son image appartient à R+

Donc pour tout x € R, f(x) € R.

Pour montrer que ton image décrit un demi cercle, il faut montrer que pour tout x appartenant à R, la distance [OM], avec O l'origine du repère et M le point de coordonnée (x,f(x) ) reste constante.

Donc on a dit que OM est la distance entre l'origine et M(x,f(x))

Si tu fais un petit schéma, tu te rends compte que cela forme un triangle rectangle avec OM pour hypoténuse, x pour base et f(x) pour hauteur.

Notre petit théorème de Pythagore nous dit que

OM²=(f(x))²+x²=1-x²+x²=1
Donc OM est constant pour tout x appartenant à R

Et pour conclure, ta fonction es un demi cercle de centre O et de rayon 1 (que tu aurais pu retrouver en connaissant l'équation d'un cercle)

[invite2cc04abc]

J'ai aussi oublier de préciser que pour etre définie, cette fonction doit admettre un |x|<1 sinon problème avec la racine ^^

[inviteda3529a9]

merci beaucoup