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Quel est le look d'une courbe exponentielle ?



  1. #1
    Koko76

    Quel est le look d'une courbe exponentielle ?


    ------

    Salut tout le monde, j'ai une petite question au sujet des courbes exponentielles.

    A quoi ressemblent-elles ?

    J'ai bien en tête la fameuse courbe qui monte de plus en plus rapidement, mais je voulais savoir si elle pouvait prendre d'autres aspects.

    Par exemple, les 2ème et 3ème courbes sont elles aussi exponentielles ?



    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    Kim&sesneurones

    Re : Quel est le look d'une courbe exponentielle ?

    La courbe exponentielle est toujours une courbe croissante et augmente rapidement. Si l'on veut l'inverse de la fonction exponentielle, regardez le logarithme népérien notée ln sur la calculatrice. Ces fonctions sont basiques, il suffit d'apprendre la généralité pour tout connaître.

  4. #3
    NicoEnac

    Re : Quel est le look d'une courbe exponentielle ?

    Bonjour,

    La 2ème ressemble à la charge d'un condensateur qui est de la forme f(t) = (1-e-t)x valeur finale.

    Pour la 3ème, l'asymptote verticale en 0 me fait dire que non, ce n'est pas une courbe exponentielle. 1/x conviendrait mieux. Mais je peux me tromper
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  5. #4
    Plume d'Oeuf

    Re : Quel est le look d'une courbe exponentielle ?

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Kim&sesneurones Voir le message
    La courbe exponentielle est toujours une courbe croissante et augmente rapidement.
    Attention avec ce genre de généralisation, trop rapide à mon goût: il manque pas mal d'hypothèses pour pouvoir affirmer ça.

    La fonction exp(-x) par exemple est une courbe décroissante. De la même manière, les gaussiennes (exp(-(x-m)²/s²)) sont des courbes exponentielles croissantes puis décroissantes, etc.


    @Koko76
    La première courbe peut aussi ressembler à une fonction du type exp(x-x0) avec x0>0.

    Bonne continuation.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    freddywilly

    Re : Quel est le look d'une courbe exponentielle ?

    En fait il y a une infinité de fonction exponentielle, est dite "exponentielle base a", toute fonction de la forme :


    Ce qu'on désigne en générale par "la fonction exponentielle" est en vérité la fonction exponentielle dont la base est e.
    Elle correspond à une fonction un peu spéciale puisque c'est la seule et unique fonction qui vérifie l'équation différentielle :


    Toutes les autres fonction exponentielles ont les mêmes propriétés que "la fonction exponentielle" à ceci prêt que leur image en 1 vaut et non ce qui influe donc sur le graphe.



    Les trois graphes représentent respectivement les graphes des fonctions suivantes :




    est un certain réel positif.

    En effet les fonctions exponentielles valent 1 en 0, alors que le premier graphe indique qu'elle vaut à peu près 0 en 0 et 1 en certain réel positif.
    C'est donc qu'elle a été déplacée vers la droite, d'où le "" qui tu devrais le savoir indique un déplacement de vers la droite.

    Ensuite le même raisonnement a été appliqué au troisième graphe à ceci près que la fonction est une exponentielle décroissante, et donc de la forme et doit donc valoir 1 en 0 alors qu'elle veut en 0 d'où le déplacement de b vers la droite.

    Enfin, le deuxième ne peut représenter le graphe d'une exponentielle puisque celui-ci n'est pas asymptoté en l'infini.
    Il représente le graphe d'un logarithme en base noté qui est en fait le symétrique de l'exponentielle base .
    Celui-ci doit donc valoir non pas 1 en 0 mais 0 en 1. Or ce n'est pas le cas, il vaut à peu près 0 en 0 et a donc été déplace de 1 vers la gauche, d'où le "".

    Le logarithme se traduit mathématique par rapport à l'exponentielle comme la seule fonction telle que :




    En espérant avoir été précis.

  8. #6
    Koko76

    Re : Quel est le look d'une courbe exponentielle ?

    Un grand merci pour ces réponses très précises et le temps que vous m'avez accordé ^^.

    Toutefois je m'y perd un peu ( j'ai oublié une bonne partie de mon bagage mathématique ces dernières années ).

    Pour être précis, j'apprends actuellement les mécanismes des IRM médicaux.
    En bref, on soumet les protons d'un tissu à divers champs magnétiques, ce qui va leur donner un comportement bizarre. Une fois les champs magnétiques stoppés, les protons vont entrer dans une phase de relaxation, qui leur fait peu à peu retrouver leur comportement normal.
    La cinétique de ces phases de relaxation est spécifique d'un tissu.
    Donc en bref, en étudiant une courbe de la cinétique de relaxation des protons, on peut savoir quel dans quel tissu on se trouve.

    Or, il y a quelques jours je suis tombé sur un QCM :
    "Les courbes de relaxation sont exponentielles ?" La réponse était : Vrai.
    J'ai trouvé ça bizarre car les courbes de relaxation ressemblent à la 2ème et 3ème courbe que j'ai posté plus haut. On a pas plus d'informations à ce niveau, juste leur apparence.

    Donc une question toute simple : a quoi reconnaît-on une courbe exponentielle ? Faut-il vraiment qu'elle ait une asymptote verticale ?

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  10. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Quel est le look d'une courbe exponentielle ?

    Citation Envoyé par NicoEnac Voir le message
    Bonjour,

    La 2ème ressemble à la charge d'un condensateur qui est de la forme f(t) = (1-e-t)x valeur finale.

    Pour la 3ème, l'asymptote verticale en 0 me fait dire que non, ce n'est pas une courbe exponentielle. 1/x conviendrait mieux. Mais je peux me tromper
    oui, mais on peut dire aussi qu'elle ( la 3ème) peut être du type 1/(exp(x)-1).
    je ne sais pas si on peut dire si vite s'il y a ou pas une composante exponentielle dans une fonction juste en regardant une courbe.
    ( sauf pour les fonctions affines bien sur )

  11. #8
    freddywilly

    Re : Quel est le look d'une courbe exponentielle ?

    Donc une question toute simple : a quoi reconnaît-on une courbe exponentielle ? Faut-il vraiment qu'elle ait une asymptote verticale ?
    Et bien la réponse est très simple :
    Une courbe exponentielle n'a jamais d'asymptote verticale, ça c'est une propriété des logarithmes, en revanche une exponentielle a toujours une asymptote horizontale.

    Voici pour te mettre les idées au point trois courbes :
    (en rouge)
    (en vert)
    (en bleu)



    Comme tu peux le voir, ici les deux exp. sont asymptotées à y=0 en l'infini (asymptote horizontale) et le logarithme à x=0 en 0 (asymptote verticale)

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