Dm de math fonction exponentielle ...

[invite9ca43868]

Bonjour à tous ,
Voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre entièrement. Pouvez-vous m'aider?

Soit f la fonction définie par f(x)= (e^x)/(e^x + 1) et C sa courbe représentative

1) Justifier que, pour tout x ∈ R, f(x) = 1/ ( 1+e^-x)

2) Calculer mes limites de f en +∞ et -∞, et interpréter graphiquement.

3) Etudier les variations de f

4) Prouver que I ( 0 ; 1/2) est centre de symétrie de C

5) Déterminer une équation de la tangente T à C en I

6) Pour tout x ∈ R, on pose φ (x) = (1/4)x + (1/2) - f(x)
a)Prouver que φ'(x) = (e^x - 1)²/4(e^x + 1)²
b) Donner le sens de variation de φ
c) Calculer φ(0) et en déduire le signe de φ(x). Quelle interprétation graphique du signe de φ peut-on en donner à l'aide de C et T

Voici je que j'ai fais :

2) Lim x→ + ∞ 1/(1+e^-x) = 1
Lim x→ - ∞ 1/(1+e^-x) = 0

mais je ne vois pas comment interpréter graphiquement

3) f est dérivable sur R
donc f' est dérivable sur R
pour tout x de R, f'(x) = [e^x(1+e^x)-e^x * e^x] / (1+e^x)²
donc f'(x) = e^x / (1+e^x)²

Donc pour tout x de R, e^x > 0 donc f'(x) > 0
f(x) est donc strictement croissante sur R

4) Pour tout x de R, [f(0-x) + f(0+x)] /2 = [ (e^-x)/(1+e^-x) + (e^x)/(1+e^x)] /2
on obtient : [f(0-x) + f(0+x)] /2 = 1/2 [ (e^-x (1+e^x) + e^x (1+e^-x)] / [ (1+e^-x)(1+e^x)]
= 1/2 [ (e^-x +1+e^x +1) / 1+e^x +e^-x +1 ] =1/2

On en déduit que I (0 ; 1/2) est le centre de symétrie de C


voila ou j'en suis arrivée pouvez vous m'aider pour la premiere question et voir si les autres sont bonnes
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[invite84eba484]

Bonsoir,

Pour la premiere suffit juste de mettre e^x en facteur...

Pour tes réponses, les limite me paraissent juste, j'ai pas vérifié la dérivée mais ça me parais pas faux...

Donc pour l'interprétention des limites :

On te dit que quand x tend vers +inf, f(x) tend vers 1 et en -inf, f(x) tend vers 0, de plus ta fonction est strictement croissante, donc la courbe partira de 0 et monteras jusqu'a 1 en parcourant l'ensemble R.

[invitebc2ed557]

.Bonjour à tous