DM sur les fonctions logarithmes

[artemis.3]

Salut,
j'ai actuellement presque finit un DM mais par contre je bloque sur une partie. Dans cette partie on doit montre que pour tout m la courbe (C) (la courbe représentative du f(x)=x-lnx definie sur ]0;+inf[) coupe la droite (d) d'equation y=x+m en un point M que l'on déterminera. J'espere si quelqu'un peut m'aider dans cette partie.

Merci d'avance.
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[Médiat]

A quelles conditions sur y deux courbes se coupent-elles ?

[invitea7fcfc37]

Salut,

Il te suffit de trouver un point (x₀,y₀) qui appartient à ces deux courbes. Comme ce point appartient à (C), tu dois avoir y₀ = f(x), et comme il appartient également à (D), tu dois avoir y₀ = x+m. Finalement, tu dois trouver x tel que f(x) = x+m.

A+

[artemis.3]

Salut,

je dis que:
f(x)=y
x-lnx=x+m
-lnx=m
lnx+m=0
lnx + ln e^m =0
ln xe^m=0
et je suis bloque ici.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7fcfc37]

Salut,

je dis que:
f(x)=y
x-lnx=x+m
-lnx=m

Ici que se passe-t-il si tu appliques l'exponentielle ?

[artemis.3]

Salut,

je ne pris pas encors le cours de l'exponentielle

[invitea7fcfc37]

Salut,

je ne pris pas encors le cours de l'exponentielle

Pourtant, tu as écrit m = ln(e^m), tu sais donc que l'exponentielle est la réciproque du logarithme népérien, non ?

[artemis.3]

dans ma cours on a :
ln e =1
et si on a soit une cte a on a: a = ln (e^a)
je suis entraine d'appliquer cette régle

[invitea7fcfc37]

dans ma cours on a :
ln e =1
et si on a soit une cte a on a: a = ln (e^a)
je suis entraine d'appliquer cette régle

Ok, alors sache qu'on définit une fonction et qui à x associe . Tu as les propriétés suivantes :

pour ,

Dans ton cas, , donc

[artemis.3]

Salut,

si je n'avait pris pas l'exponentielle peut-on dire que:

f(x)=y
x-lnx=x+m
-lnx=m
lnx+m=0
lnx + ln e^m =0
ln xe^m=0
ln xe^m=ln1
xe^m=1
x=1/(e^m)
x=e^-m
Je vais peut être poser une question bête, cmt x=e^-m peut m'aider

[invitea7fcfc37]

Salut,

si je n'avait pris pas l'exponentielle peut-on dire que:

f(x)=y
x-lnx=x+m
-lnx=m
lnx+m=0
lnx + ln e^m =0
ln xe^m=0
ln xe^m=ln1
xe^m=1
x=1/(e^m)
x=e^-m

Tout à fait, tu as utilisé l'injectivité de la fonction ln, tu peux aussi faire ça (ce qui n'est pas exactement la même chose que d'appliquer l'exponentielle, mais presque...). *

Je vais peut être poser une question bête, cmt x=e^-m peut m'aider

Tu as trouvé un x tel que (x,f(x)) (qui appartient à (C)) et (x,x+m) (qui appartient à (D)) soient le même point : c'est exactement ce qu'on te demandait. Tu as donc M=(x,f(x))=(x,x+m).

Le fait que tu n'aies trouvé qu'une seule valeur de x possible t'indique que les deux courbes ne se coupent qu'en un seul point.

[artemis.3]

merci bcp knz