Bonjour,
je n'arrive pas à résoudre cette équation :
(e(x)-e(-x))/(e(x)+e(-x))=x
Bon voilà, à vue d'oeil il n'y a qu'une seule solution et c'est x=0 mais j'arrive pas à le démontrer, il doit y avoir une astuce que je ne trouve pas.
Merci d'avance.
J'ai une petite idée mais elle est pas très jolie.
Soit f(x)=(e(x)-e(-x))/(e(x)+e(-x))-x
f établie une bijection de IR sur IR donc l'équation f(x)=0 a une seule et unique solution dans IR.
Par l'absurde, x=0 donc
f(0)=(e(0)-e(0))/(e(0)+e(0))-0
f(0)=(1-1)/(1+1)=O
Donc x=O est solution de l'équation or il n'y a qu'une seule et unique solution donc S={0}
Voilà ça colle bien mais c'est pas très scientifique tout ça.
Personne ne veut m'aider ?
Bonsoir,
1) Ici, on ne donne pas de réponse, on met juste sur la bonne voie...
2)Ne sois pas trop impatient...
3)Le coup de pouce (enfin !)... Ton raisonnement est correct mis à part que tu n'as pas la encore notion précise d'une bijection, et que tu abuses du terme "raisonnement par l'absurde". Je te conseil de simplement mener le calcul : passe le dénominateur à droite, développe, rassemble les termes en e^x et en e^-x...
Tu devrais au bout du compte pouvoir simplifier tes exponetielles pour résoudre un équation du premier degré...
4)Pour info, ton quotient d'exponentiel sera plus tard (si tu continues un peu les maths) une fonction usuelle ! (tangente hyperbolique)
Bonjour.
Le calcul de la dérivée de (ex-e-x)/(ex+e-x) - x devrait te permettre de déterminer la monotonie de la fonction (son sens de variation) et si elle est continue et strictement monotone (croissante ou décroissante) sur un intervalle donné, tu peux appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, non ?
Duke.
Je suis désolé d'être impatient mais cette équation me prend la tête depuis 2 jours et elle me met un peu sur les nerf
J'ai essayé de faire la methode classique ( développement, factorisation ... ) mais je bloque. Je te montre quand même ce que j'ai fais :
e(x)-e(-x)=xe(x)+xe(-x)<=>e(x)(1-x)-e(-x)(1+x)
et là je ne vois rien d'autre à faire.
On peut composer tout ça avec ln mais on est obliger de restreindre le domaine de validité à [-1;1] et j'aime pas trop faire ça.
il te suffit d'etudier la fonction f qui à x associe f(x) = (e^x-e^-x)(e^x+e^-x)soit f(x) e^2x - e^-2x
tu dérives et ses variations sont faciles ainsi que les bornes et d'autre part g(x) = x et la réponse semble alors triviale
C'est ce que j'ai fait, la fonction est même bijective et décroissante sur IREnvoyé par Duke Alchemist
Ensuite le théorème des valeurs intermédiaires c'est pas plutôt un théorème d'existence ?
Il permet de démontrer qu'il y a une ou plusieurs solutions mais pas de l'ai donner précisément
Tu t'es trompé je croie c'est f(x)=(e^(x)-e^(-x))/(e^(x)+e^(-x)) mais ça change pas grand chose au fond
En faite cette équation est dans un exercice où on étudie la fonction f(x)=(ex-e-x)/(ex+e-x) et la fonction g(x)=f(x)-x et l'on doit donner le signe de g(x) suivant les valeurs de x donc il me faudrait x tel que g(x)=0 c'est pour ça que je dois résoudre f(x)-x=0 soit f(x)=x
