Système nombre complexe (C²)

[l'Eternel]

Bonjour à toutes et à tous j'ai un DM de math pour la rentrée et je bloque a une question :

On me demande de résoudre dans C² le système suivant :

z₁ sqrt(3) - z₂ = -2
z₁ - z₂ sqrt(3) = -2i

je trouve :

x(sqrt(3) -1) + y(i*sqrt(3)-i) = -2
x(1-sqrt(3) ) + y(i - i*sqrt(3) )=-2i

Le problème est que mes deux membres de gauche sont opposés,
j'obtiens donc -2-2i = 0 ce qui n'est pas possible, c'est donc que je m'y prend mal.

J'espère que quelqu'un aura le temps de me répondre en cette période de fête, d'avance merci !

PS: la notation sqrt(x) signifie : racine carrée de x
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[invite6c568dd3]

Pourquoi tu n'essayes pas de résoudre ce système directement dans C² par la méthode des déterminants (si tu la connais) sans passer par la forme algébrique de z₁ et z₂.

[Jeanpaul]

Pourquoi tu n'essayes pas de résoudre ce système directement dans C² par la méthode des déterminants (si tu la connais) sans passer par la forme algébrique de z₁ et z₂.

Bonne remarque, il faut abandonner ce tic qui consiste à écrire z = x + i y dès qu'on a un nombre complexe, encore plus quand il y en a 2 !

[l'Eternel]

Et bien parce que je n'ai pas bien saisis ce que je devais faire pour faire passer C au carré.
Ensuite la méthode des déterminants ne me dis rien ( mais c'est peu être simplement cette dénomination que je ne connais pas) en revanche je vais essayer de travailler le système sans appliquer z = x +iy mais je ne vois pas trop comment m'y prendre.

Peut être dois-je mettre mes deux équations au carré ?

En tout cas je vous remercie pour vos réponses claires et rapides.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

C², ça veut dire, un ensemble de 2 complexes, ce que tu cherches.
Ensuite, si tu oubliais que z1 et z2 sont des complexes, comment résoudrais-tu ce système ? Par substitution par exemple : calcule z2 dans la 1ère équation et porte dans la seconde.

[l'Eternel]

Je penses avoir trouvé en résolvant le plus simplement du monde le système grâce au conseils de JeanPaul ;
j'obtiens
Z₂= -1 + sqrt(3) * i
Z₁= -sqrt(3) + i

cependant je "bloque" encore à une question il s'agit d'un quotient de module ( je ne suis pas sur que cette expression existe)
On me demande de trouver le module de Z_A/Z_B

Avec Z_A= -sqrt(3) + i
Z_B= -1 + sqrt(3) * i

Si j'ai bien compris le module c'est le rayon
donc Z_A/Z_B = 2/2 = 1 ?

[Jeanpaul]

Rien à dire, c'est OK. Manquent les signes modules sur le quotient.

[l'Eternel]

Et bien merci beaucoup pour l'aide !