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Démonstration 2^n-1 <=> n premier



  1. #1
    Ignorant95

    Démonstration 2^n-1 <=> n premier


    ------

    Bonjour,

    Tout est dans le titre ou presque.
    On m'a recommandé d'utiliser le petit théorème de fermat pour faire cette démo or je ne vois pas comment l'utiliser.

    je pensais partir en disant que le nombre 2^n -1 pouvait être considéré comme premier, de ce fait prenons n = kd car on sait que d divise n ( cf énoncé ) et toujours d'après l'énnoncé 2^d -1 divise 2^n -1.

    On sait par définition que 2^kd -1 (donc 2^n-1) est divisible par 2^k -1 et 2^d -1 :

    partant du principe que 2^n-1 est premier, deux cas s'offrent à nous,

    2^k -1=1 et 2^d -1=2^n -1

    ou

    2^k -1=2^n -1 et 2^d -1=1

    ce qui donne :

    d=1 et k=n ou d=n et k=1 p et q ne peuvent pas prendre d'autres valeurs que celle-ci :

    n est donc, par définition premier.

    2^n-1 est premier implique n est premier. sauf que j'ai pas ici une équivalence.
    De plus je ne suis pas sur à 100% de ma démonstration.

    Un peu d'aide ?

    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    Ignorant95

    Re : Démonstration 2^n-1 <=> n premier

    +1 ?

    *Need help

  3. #3
    Seirios

    Re : Démonstration 2^n-1 <=> n premier

    Bonjour,

    Ta démonstration est tout à fait correcte ; par contre, si tu n'en es pas sûr, c'est qu'elle n'est pas assez détaillée. Reprend chaque étape, et vérifie que ce que tu écris est juste ; ainsi, tu es sûr que ce que tu n'écris pas est évident.

    Par contre, la réciproque est fausse : est divisible par 3.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    Ignorant95

    Re : Démonstration 2^n-1 <=> n premier

    Quand tu dis que ce que j'ai écris n'est pas évident, c'est que c'est faux / mal démontré ou que ou pas évident dans le sens plutôt compliqué / difficile à comprendre ?

    Merci pour ta réponse en tout cas

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Seirios

    Re : Démonstration 2^n-1 <=> n premier

    Quand tu dis que ce que j'ai écris n'est pas évident, c'est que c'est faux / mal démontré ou que ou pas évident dans le sens plutôt compliqué / difficile à comprendre ?
    Ce n'est pas évident dans le sens où tu n'es pas sûr si ce que tu as écrit est juste ou non. D'un point de vue plus scolaire, je dirais qu'il manque simplement un petit "par unicité de la décomposition en facteurs premiers" lorsque tu donnes les valeurs possibles de d et k.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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