Exercice d'arithmétique TS spé maths

[inviteb8c33213]

Bonsoir !

En principe je ne demande pas d'aide sur les forums, je préfère faire des recherches ou trouver la réponse moi-même... Cependant là, j'ai affaire à un exercice de spé maths qu'aucun élève n'a trouvé... La solution est peut-être facile, mais encore faut-il la trouver ! Comme c'est un dm qu'il faut rendre, je préfère demander ici.

Voici l'exercice :

Montrer que pour tout entier naturel n, 2*6*10*14*...*(4n-6) est divisible par n!.

Je remercie toute personne se penchant sur ce problème et me mettant sur une piste que je n'aurais pas su voir seul.

Bonne soirée à vous !
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[invite881f2306]

bonsoir,
Essayez d'utiliser le raisonnement par récurrence .

[inviteb8c33213]

Bonsoir,
Nous avions essayé d'utiliser le raisonnement par récurrence, mais il faudrait faire apparaître du (n+1)!, ce qui n'est pas chose facile...
De plus, notre prof nous a indiqué qu'il ne pensait pas que c'était faisable de cette manière. J'ai donc vite abandonné cette idée. Il doit de toute façon exister une autre manière, si notre prof nous conseille de ne pas procéder par récurrence...

[Seirios]

Bonjour,

L'astuce est d'écrire le produit sous une autre forme : , puis de reconnaître un coefficient binômial : ; donc n! divise P.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb8c33213]

Bonjour,
Merci pour cette réponse complète !
J'avais pensé à cette astuce, mais je n'avais pas réussi à passer de à . Je ne comprends pas, car (2n-1) est le nombre entier suivant (2n-2), ainsi il n'apparaît pas dans .
Comment l'avez-vous fait apparaître ?

[Seirios]

La dernière égalité est bien fausse

Je me rattrape : ; or on a , donc 2n-1 divise , et comme 2n-1 et n sont premiers entre eux (théorème de Bezout), 2n-1 divise et n! divise P.

[inviteb8c33213]

Un grand merci pour m'avoir aidé à résoudre cet exercice !
Les étapes de votre dernier message m'avaient totalement échappé, je n'y avais pas du tout pensé... ^^ Je pense juste que l'égalité est plutôt , mais cela ne change rien à la conclusion !
Merci encore, bonne continuation.