Démontrer des inégalités.

[invitedd45a9dc]

Bonjour à tous !

J'ai un exercice à faire, et j'ai quelque soucis.

Voici l'exo :

a, b, c sont 3 réels strictements positifs. Montrer que a/c + a/b + b/c + c/b + b/a + c/a ≥ 6 .

Mon professeur m'a mis sur la voie en me disant qu'il fallait étudier la fonction f(x) = x + (1/x).

J'ai donc fait la dérivée --> f'(x)= 1-(1/x²)

Ensuite j'ai tracer la courbe f' sur ma calculette, et j'ai trouvé quelle était décroissante sur ]-∞ ; 0[ et croissante sur ]0 ; +∞[

Ensuite j'ai tracer la courbe f , et j'ai trouvé quelle était croissante sur ]-∞ ; -2] et décroissante sur [-2 ; 0 [. Puis croissante sur ]0 ; 2] , et enfin décroissante sur [2 ; +∞[ .

Est-ce que ces résultats sont bons s'il vous plait ?

Et le problème c'est que maintenant je suis bloqué, je ne sais pas comment finir l'exercice. En fait, je ne comprends pas vraiment pourquoi il fallait étudier f(x) = x + (1/x) .

Pouvez vous m'expliquez et m'aidez à finir cet exercice s'il vous plait ?

Merci d'avance pour vos réponses
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[invitea3eb043e]

Ce n'est pas la variation de f' qu'on étudie, mais celle de f. Est-ce qu'on ne peut pas dire que x + 1/x est toujours supérieur à une certaine valeur ? Et le dire 3 fois plutôt qu'une ?

[invitedd45a9dc]

On peut dire que x+1/x est toujours supérieur à 0 puisque la division par zéro n'existe pas. C'est bien ça ?

[invitedd45a9dc]

Je pensais qu'il fallait dériver la fonction, et ensuite étudier le signe de f', pour pouvoir trouver les variations de de f.
Mais si vous me dite que ce n'est pas comme ça qu'il faut faire ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3d2c5d75]

Salut!
Aussi tu peux utiliser cette inégalité

:

tu peux seulement démontrer cette inégalité et je pense que ce sera facile

bonne chance

[invitedd45a9dc]

J'ai continué à ma manière et donc j'ai trouvé après avoir fais le tableau de signe que f(x) est croissante sur ]-inf ; -2] , puis décroissante sur [-2 ; 2] , et croissante sur [2 ; +inf[ .

Est-ce que c'est bon ?

Mais maintenant je ne vois pas comment finir l'exercice ?

[invitea3eb043e]

j'ai trouvé après avoir fais le tableau de signe que f(x) est croissante sur ]-inf ; -2] , puis décroissante sur [-2 ; 2] , et croissante sur [2 ; +inf[ .
Mais où vas-tu chercher un truc comme ça ?

[invitedd45a9dc]

^^ Tu as raison, je me suis trompé.
J'ai confondu l'image avec les coordonnées.

Je suis désolé de t'avoir fait perdre ton temps.
Merci beaucoup pour ton aide !