dérivation/tableau de variation 1S

[Minialoe67]

Bonjour,

J'ai une fonction définie sur R avec m, un réel: f(x)=x³-mx²+mx-1

Il faut que je dresse le tableau de variations de f pour m=0 et m=3.
Là, pas de problème: il suffit de calculer la dérivée de f avec m=0 et m=3 puis faire le tableau.

Il faut aussi que je dresse le tableau pour:
- m appartient à ]0;3[
- m appartient à ]-infini; 0[U]3;+infini[

Cependant, je sais pas trop comment faire ici.
Comment faudrait-il que je m'y prenne?
J'aimerais juste que vous me donniez des explications pour y arriver.

Merci beaucoup
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Eh bien, il te suffit de procéder de la même manière avec m.

Quelle est l'expression de la dérivée en fonction de m ?

Duke.

[Minialoe67]

f'(x)=3x^2-2xm+m

Mais on prend quelle valeur de m si on doit étudier un intervalle?

[invitefbf77cad]

Bonjour.
Tu remarques que tu as un polynôme du second ordre. A ton avis, comment trouves-tu le signe de ce trinôme (donc de la dérivée) en fonction de m ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Re-

f'(x)=3x^2-2xm+m

Mais on prend quelle valeur de m si on doit étudier un intervalle?

OK donc le discriminant en fonction de m ?

Il ne serait pas surprenant que tu retrouves les valeurs de la première partie comme valeurs particulières de m.

Duke.

[Minialoe67]

Oui c'est en effet logique de calculer delta pour trouver le signe.

donc je trouve delta=4m^2-12m
Ensuite, il faut que je calcule encore le delta de ce delta pour voir le signe du trinôme. Et on trouve 144 donc x1=0 et x2=3.
donc
m / -infini 0 3 +infini
----------------------------------------
delta / + Ø - Ø +


d'où delta de f'(x) positif lorsque m<0 et m>3. Il s'annule pour ces valeurs et il est négatif entre.

Cependant après je sais pas vraiment comment je dois faire les tableaux de variation.

faut-il calculer les racines de f'(x)? mais si c'est ça, on se retrouve avec des solutions du genre x1=(2m-√(4m^2-12m))/6 (quand delta est positif).

Et c'est faux, non??

Merci de m'aider

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Que signifie que le discriminant est négatif (par rapport à f'(x)) ?
Que peux-tu en déduire pour f ?

Et si il est positif ?...

Duke.

EDIT : Les racines n'ont pas l'air fausses à priori mais, au final, ont-elles un intérêt pour l'exercice ?

[Minialoe67]

Si le discriminant est positif: => il y a 2 racines et c'est du signe de a à l'extérieur des racines pour f'(x). Donc là où le signe de la dérivée sera positif, f(x) sera croissante. et là où f'(x) sera négative, f(x) sera décroissante.

S'il est négatif, pas de solution dans R. f'(x) sera du signe de a pour tout x. et comme a>0, f(x) sera croissante.

Merci je pense que j'ai compris maintenant
Vos explications étaient vraiment utiles!

[Duke Alchemist]

C'est très bien

Juste une remarque par rapport à ce qui est en gras ci-dessous :

... la dérivée sera positif, f(x) sera croissante. et là où f'(x) sera négative, f(x) sera décroissante.
...

Ce n'est pas f(x), qui est un nombre, mais la fonction f (sans le (x) ) qui est croissante ou décroissante.

Bonne continuation.

Duke.

[Minialoe67]

Ah oki. Merci de cette information