Démonstration à base de barycentres

[inviteee513538]

Bonjour cela fait 1h30 environs que je tourne un de mes exercices de DM dans tous les sens en me demandant comment je vais commencer et réussir mon exercice donc au lieu de me tuer le cerveau en vain je préfère demander des pistes ici pour attaquer ce dit DM, je vous copie l'énoncé ci dessous :

Soit A, B, C trois points du plan non alignés de l'espace, et a,b,c trois réels tels que a+b+c soit différent de 0
L'objectif de l'exercice est de démontrer que l'intérieur du triangle ABC, côté compris est l'ensemble de tous les barycentres des points A, B, C affectés de coefficients respectifs a, b et c de même signe.

1-
a- Démontrer que si l'un des coefficients a, b, c est nul et les deux autres sont du même signe, alors le barycentre G des points pondérés ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) appartient à l'un des côtés du triangle ABC/
b- Etudier la réciproque de l'implication démontrée dans la question 1-a

2- Dans toute la suite on considère trois réels a, b, c non nul tels que a+b+c soi différent de 0
Démontrer que pour tout barycentre des points pondérés ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ), avec a, b, c de même signe, on peut supposer que a,b et c sont strictement positifs.

3- On considère le barycentre G des points pondérés ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) ou a, b, c sont strictement positifs
a- On note H le barycentre partiel de ( B;b ) et ( C,c ). Que peut on dire du point H? Et du point G?
b- En déduire que G est situé à l'intérieur du triangle ABC, côtés exclus.

4- Réciproquement on considère un point M situé a l'intérieur du triangle ABC, côtés exclus. On note K le point d'intersection de la droite (AM) et du segment [BC]
a- Justifier l'existence d'une réel x appartenant à ]0;1[ tel que K est le barycentre des points pondérés ( B,1-x ) et ( C, x ).
b- Justifier l'existence d'une réel y appartenant à ]0,1[ tel que M est la barycentre des points pondérés ( A,1-y ) et ( K,y )
c- En déduire que M est un barycentre des points A, B et C affectés de trois coefficients strictement positifs.

5- Conclure.

Donc si quelqu'un peut me donner des pistes, je suis partant ! Merci d'avance !
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[invite26003a38]

La premiere question est quand meme ultra simple.
Regarde ton cours un peu non ?

[inviteee513538]

Et bien pour les premières questions j'ai mis :

1-
a-

G est le barycentre de ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) ==> a*GA+b*GB+c*GC=0
si a=0 alors b*GB+c*GC=0 ==> GB=-(c/b)*GC et si b et c sont de même signe alors GB et GC sont de signes contraires ce qui signifie que G appartient à [BC]
De la même manière on démontrerait que si b=0 allors G appartient à [AC] et si c=0 alors G appartient à [AB]

b-

Réciproquement si le barycentre de ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) appartient à [AB] alors a*GA+bGB=0 ==> c*GC=0 ==> c=0 et GA/GB <0 ==> a/b >0 ==> a et b sont de même signe
On démontrerait de même que :
- si le barycentre de ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) appartient à [AC] alors a*GA+cGC=0 ==> b*GB=0 ==> b=0et GA/GC <0 ==> a/c >0 ==> a et c sont de même signe
- si le barycentre de ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) appartient à [BC] alors b*GB+cGC=0 ==> a*GA=0 ==> a=0 et GB/GC <0 ==> b/c >0 ==> b et c sont de même signe

2-

G est le barycentre de ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) ==> a*GA+b*GB+c*GC=0, si a, b et c sont de même signe alors la relation a*GA+b*GB+c*GC=0 qui peut aussi s'écrire -a*GA-b*GB-c*GC=0 est vérifié ce montre qu'elle est indépendante du signe de a, b et c lorsqu'il sont de même signe ce qui permet de supposer que a,b et c sont strictement positifs.

3-
a-

b*HB+cHC=0. b et c étant de même signe alors H appartient à [BC]

b-

a*GA+b*GB+c*GC=0 ==> a*(GH+HA)+b*(GH+HB)+c*GC=0 ==> (a+b)*GH+c*GC=0 ==> a,b et c étant de même signe G appartient à [HC] H et C étant exclut. En considérant le barycentre I de (A,a) et (C,c) on démontrerait de même que G appartient à [JB] J donc AC et B étant exclut. Enfin en considérant le barycentre K de (B,a) et (C,c) on démontrerait de même que G appartient à [KA] K donc BC et A étant exclut ce qui montre que G appartinet à l'intérieur du traiangle ABC côtés exclus.

Est ce bon jusque la?