Centre de gravité d'un prisme tronqué

[invite45d5b98d]

Bonjour

J’ai passé quelques heures sur ce qui suit mais sans succès. Si vous savez comment faire, je recevrai vos suggestions avec plaisir !
J’ai un prisme à base polygonale convexe. La base est dans (xOz) et l’axe du prisme est parallèle à Oy. On peut supposer que le prisme s’étend à l’infini du côté des y positifs (voir fichier joint).

Le prisme est tronqué par un plan (voir fichier joint) qui :
- passe par le point le plus « haut » de la base (le point de plus grand z)
- est perpendiculaire à (yOz)

Je pense que si on fait varier l’inclinaison du plan, le z du centre de gravité de change pas. Je l’ai vérifié quand la base est un triangle dont le côté « bas » est parallèle à Ox, quand la base est un carré à bords parallèles aux axes mais je n’arrive pas généraliser à une base polygonale quelconque.

Quelqu'un peut-il me dire comment faire ?

Merci pour toute suggestion,

Christian
-----

[NicoEnac]

Bonjour,

Je pense que si on fait varier l’inclinaison du plan, le z du centre de gravité de change pas.

Je pense que c'est faux. En effet, pour un prisme non tronqué, vous prenez le centre de gravité de la base pour les coordonnées x et z et la coordonnée y est égale à la longueur/2. Appelons le G_{non tronqué}.

Dès que vous commencez à enlever plus de matière "d'un côté" de G_{non tronqué} que de l'autre, vous allez déplacer le centre de gravité. Pour parler simplement, sur votre figure on voit qu'en tronquant le prisme, "il y a plus de matière" en bas qu'en haut donc je m'attend à ce que le centre de gravité soit plus bas que G_{non tronqué}.

[invite45d5b98d]

Bonjour NicoEnac,

Et merci d'avoir regardé ! J'ai lu votre réponse et je comprends les arguments. Pourtant j'ai du mal à me ranger à votre avis parce que ces arguments devraient s'appliquer aussi quand la base est un rectangle à bords parallèles aux axes. Or, dans ce cas, j'ai prouvé que le z du centre de gravité ne change pas quand on change l'inclinaison du plan de coupe (c'est facile à faire parce que le prisme TRONQUE est alors un prisme à base triangulaire, la base se trouvant cette fois dans un plan parallèle à (yOz)).
Et je l'ai prouvé aussi quand la base du prisme est un triangle dont la base est parallèle à Ox. Dans ce cas, le prisme tronqué est une pyramide dont le sommet est le point "haut" du triangle de base et, pour une telle pyramide, le centre de gravité est à 2/5 de la hauteur ; or la hauteur ne change pas avec l'inclinaison du plan.
Pensez-vous qu'il s'agisse de cas particuliers ?

[NicoEnac]

Il y a un point que je n'avais pas considéré : tu pars d'un prisme infini à partir de la base. Avec un prisme fini, ton résultat sur le prisme à base rectangulaire est faux. Car à inclinaison nulle, le centre de gravité se trouve en z = h/2. En inclinant le plan jusqu'à un angle = arctan(longueur du prisme/hauteur), la hauteur du centre de gravité diminue jusqu'à atteindre h/3. A partir de là, comme tu l'as dit, la hauteur du centre de gravité ne change pas.

Cependant, pour le cas général, je ne suis pas convaincu.

Edit : sans faire attention, je suis passé au tutoiement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite45d5b98d]

Pas de problème pour le tutoiement.
C'est marrant, je m'interrogeais tout à l'heure justement sur le fait que la hauteur du centre de gravité passe brutalement de h/2 (quand l'inclinaison est nulle) à autre chose quand l'inclinaison n'est plus nulle.
En fait, je ne pense pas qu'il faut s'en inquiéter, il y a une discontinuité identique à celle que l'on rencontre quand on calcule le centre de gravité d'un triangle dont le troisième sommet se rapproche progressivement du deuxième : tant qu'on a vraiment un triangle, le centre de gravité est (A+B+C) / 3 et la trajectoire du centre de gravité est une droite ; mais, quand C est arrivé sur B, on n'a plus un triangle mais un segment et le centre de gravité devient brutalement (A+B)/2 et ce nouveau G n'est pas sur la droite décrite par les précédents G.

Quand au fait que le centre de gravité du prisme tronqué à base rectangulaire est toujours au même Z, je maintiens ! Je vais rédiger la preuve et l'envoyer. Je suis curieux de voir si tu y trouves une erreur (à supposer que tu veuilles prendre le temps de la lire ; il n'y a bien sûr aucune obligation : on a tous nos obligations).

Christian

[invite45d5b98d]

Voici la preuve dont je parlais pour le prisme à section rectangulaire.

[NicoEnac]

Quand au fait que le centre de gravité du prisme tronqué à base rectangulaire est toujours au même Z, je maintiens !

Et j'ajoute que je suis d'accord !

[invite45d5b98d]

Bonjour,

C'est bon ! le problème est résolu : l'altitude du centre de gravité d'un prisme tronqué par un plan (dans les conditions indiquées dans le message initial) ne varie pas avec l'inclinaison du plan.
Merci aux contributeurs.

Christian