DM suites

[invite71daffab]

Bonjour
je suis bloqué sur un un exercice de DM.
Voici l'énoncé :
On construit un "escargot" formé de demi-cercles successifs, chaque demi-cercle ayant un rayon égal à la moitié du précédant. Le premier demi-disque a pour rayon AO=1

1) Soit x un réel tel que : 0<x<1 et n un entier non nul

a) Développer et simplifier le produit : (1-x)(1+x+x²+x³+...+xⁿ)

b) En déduire que : 1+x+x²+x³+...+xⁿ1/(x-1) (Justifier)

2) On note Ln le périmètre d'un "escargot" formé de n demi-cercles successifs.
Démontrer que la suite (Ln) est majorée et en donner un majorant.

1)a) Forme développée réduite : 1-xⁿ⁺¹

b)Je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé : ce n'est pas 1/(x-1) puisque c'est négatif et 1+x+x²+......+xⁿ est positif.
J'ai trouvé logique de prendre 1-x au lieu de x-1 en regardant la question précédente.
J'ai donc dit que 0<x<1 donc 0<xⁿ⁺¹<1
Donc 1-xⁿ⁺¹<1
(1-x)(1+x+x²+......+xⁿ)<1
1-x>0
(1+x+x²+........+xⁿ)<1/(1-x)
Je n'ai par contre pas réussi à prouver que c'était inférieur ou égal.

c)
Je n'arrive pas à prouver que cette suite est majorée et à trouver un majorant.

Merci pour votre aide précieuse.
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[Jeanpaul]

Effectivement, c'est bien 1-x
Ensuite si tu as montré que c'était strictement inférieur à 1/(1-x), a fortiori c'est aussi inférieur ou égal ! Fais un dessin.

Pour la suite, ce n'est jamais que l'application des questions précédentes avec x=1/2, sauf qu'on a tout multiplié par pi pour faire joli, je pense.

[invite71daffab]

Mais d'où vient le 1/2?
La suite c'est moi qui l'ai écrite comme ça c'était pas dans l'énoncé. Je n'ai jamais utilisé cette notation donc je ne suis pas sûr de moi. Est-ce que tu pourrais confirmer?

[Jeanpaul]

Tu as x à la puissance i qu'il est immédiat d'identifier à 1 sur 2 puissance i, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[philjonin]

Tout cela est tres lointain, mais effectivement l'ennonce et errone et
bien sûr: [1-x] [1 + ... + x(n)] = 1- x(n+1).
Donc pusque x != 1
1 + ... + x(n) = 1-x(n+1) / [1-x] = 1/(1-x) -x(n+1)/(1-x)

etnt donne que x(n+1)/(1-x) >= 0 (rapport de 2 entiers positifs)

donc Sn(x) = 1 + ... + x(n) >= 1/(1-x)

Le reste est simple dans l'exemple Ln = Pi . (1/2) <= 2.Pi

Cordialement.

[invite71daffab]

x != 1
Le reste est simple dans l'exemple Ln = Pi . (1/2) <= 2.Pi

Je ne comprend pas ça.
x ! je n'ai jamais vu ça (je suis en 1ère s)
Et je croyais que ma suite Ln était bin exprimée.

Tu as x à la puissance i qu'il est immédiat d'identifier à 1 sur 2 puissance i, non ?

Je n'ai pas de x à la puissance i j'ai juste 1/2^i

En espérant que vous réussirai à éclaircir ces points.
Merci.

[Jeanpaul]

As-tu compris que (1/2)^i est égal à 1/(2^i) ?

[invite71daffab]

Oui ça je l'ai compris
1^i fera toujours 1 donc c'est pareil.

[Jeanpaul]

Alors, pour quoi écris-tu ça ?

Je n'ai pas de x à la puissance i j'ai juste 1/2^i

[invite71daffab]

J'ai dit ça parce que je ne sais pas d'où vient le x^i. Du 1)a)? De la somme de l'énoncé? De la formule du périmètre que j'ai donnée dans le 2)?
Cordialement

[Jeanpaul]

Ton Ln, une fois que tu as mis pi en facteur, c'est EXACTEMENT un cas particulier de la somme (1 + x + x²..) quand x=1/2.
Ca ne te crève pas les yeux ?

[invite71daffab]

Ah oui
Donc quand on a ça on reprend la 1)b) pour dire qu'elle est majorée et pour le majorant puisque pour tout n supérieur ou égal à 1, (1+x+x^2...) est inférieur ou égal à ce nombre, le majorant est /0,5. Normalement c'est ça. Merci beaucoup pour votre aide.
Cordialement.