Problème DM mathématiques 1ère S

[invite4572f55e]

Bonjour à tous, c'est la première fois que je poste un message, j'espère donc que je me suis pas trompé en le postant ici^^

J'ai donc un DM à faire et j'ai réussi tout les exercices à une question près ! Je viens donc demander votre aide s'il vous plait.

Voici l'énoncé:

"Dans un repère orthonormal, C est le cercle d'équation:
x²+y²-2x+4y+1=0

T est le point de coordonnées (3;4)"

Dans la 1ère question j'ai réussi à calculer les coordonnées du centre du cercle: O(2;1) et son rayon: r= racine de 10

Ensuite il est écrit dans la 2ème question:

"On mène du point T, les deux tangentes au cercle C et on note A1, A2 les points de contact de ces tangentes avec C."

C'est là que je coince, car on me demande en a):

"Démontrer que A1 et A2 appartiennent au cercle C' de diamètre [OT]."

Je pense qu'il doit s'agir d'une propriété ou alors d'une équation à résoudre, enfin bref j'ai beau chercher je ne trouve pas la solution à cette question mais j'ai néanmoins réussi à faire la suite de l'exercice où l'on me demandait de trouver l'équation du cercle C' en (b), les coordonnées de A1 et A2 en (c) puis une équation de chacune des deux tangentes en (d).

Voilà je vous remercie d'avance pour votre aide.
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[Bilaloub]

Salut!

(C): (x-a)²+(x-b)²=R² n'est ce pas?

Alors C(O(a;b);R)

dans cet exercice on va avoir (après un tout petit calcul)

(C): (x-1)²+(y+2)²=4 ,n'est ce pas?

Donc c'est facile de trouver O et R

bonne chance

[invite4572f55e]

Mince attends désolé je me suis trompé pour la question (1),
c'est :

O(1,-2) et r=2

Je regardais la mauvaise question sur mon brouillon désolé.
Mais c'est la question 2)a) que je ne trouve pas.

[Bilaloub]

Bon
Est ce que tu as déterminé les coordonnées de A1 et A2 et l'équation de (C')?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4572f55e]

Oui :

C' a pour équation (x-2)²+(y-1)²= 10

d'où les coordonnées et le rayon que j'ai donné tout à l'heure, j'ai pris le cercle C' au lieu de C

et pour les coordonnées des points j'ai trouvé A1(-3/5;-4/5) et A2(3;-2), mais je vois pas à quoi ça nous sert puisqu'on nous les demande après la question 2)a)

[Bilaloub]

Oui :

C' a pour équation (x-2)²+(y-1)²= 10

d'où les coordonnées et le rayon que j'ai donné tout à l'heure, j'ai pris le cercle C' au lieu de C

et pour les coordonnées des points j'ai trouvé A1(-3/5;-4/5) et A2(3;-2), mais je vois pas à quoi ça nous sert puisqu'on nous les demande après la question 2)a)

Tu as arrivé à résoudre la question, si on place (x;y) par les coordonnées de A1 et aussi de A2 on vas trouver que
pour A1: 10=10
Pour A2: 10=10
donc A2 et A1 appartient à (C') n'est ce pas?

ou tu vas démontrer que la distance entre A1 et le centre du (C')=1/2OT
la même chose pour A2.

[invite4572f55e]

Oui mais ce que je veux dire c'est que l'équation de C' on l'obtient en la calculant en 2)b), donc logiquement en 2)a) on ne la connait pas encore d'où je suis pas sûr que l'on doivent l'utiliser pour cette question

[Bilaloub]

Oui mais ce que je veux dire c'est que l'équation de C' on l'obtient en la calculant en 2)b), donc logiquement en 2)a) on ne la connait pas encore d'où je suis pas sûr que l'on doivent l'utiliser pour cette question

Alors, on peut utiliser la 2eme méthode, n'est ce pas?
OT=IA1=IA2

[invite4572f55e]

Je comprend pas ta méthode parce que l'on ne connait pas encore les coordonnées des points à cette question.
On sait juste que A1 et A2 appartiennent au cercle C de rayon 2 et de centre O(1;-2), ce sont les points d'intersection des 2 tangentes à C partant de T(3;4). A partir de ces infos je vois pas comment faire pour prouver qu'ils appartiennent à C' de diamètre [OT]

[Bilaloub]

Je comprend pas ta méthode parce que l'on ne connait pas encore les coordonnées des points à cette question.
On sait juste que A1 et A2 appartiennent au cercle C de rayon 2 et de centre O(1;-2), ce sont les points d'intersection des 2 tangentes à C partant de T(3;4). A partir de ces infos je vois pas comment faire pour prouver qu'ils appartiennent à C' de diamètre [OT]

En utilisant les coordonnées de A1 et A2

[invite4572f55e]

j'ai préciser que l'on ne les connait pas encore, faut attendre la question (c)

[Bilaloub]

Bon, je vais te donner un essai, mais je suis désolé si ma réponse n'est pas clair, car mon bagage scientifique(en français) est assez modeste.

TA1 et TA2 sont deux tangentes de C

On a OA1=OA2
et TA1=TA2
donc (OT) ... par rapport à A1A2
Alors OA1TA2 est un losange


il faut arriver à démontrer que OA1TA2 est un carée

[invite4572f55e]

As-tu fais la figure au brouillon ? Parce que chez moi OA1TA2 n'est pas du tout un carré et ne peut pas l'être car OA1=OA2 et A1T=A2T mais A1T et A2T sont largement supérieurs à OA1 et OA2

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pour montrer que A1 et A2 appartiennent au cercle de diamètre OT, tu peux montrer que les triangles OA1T et OA2T sont rectangles respectivement en A1 et A2.
Propriété : un triangle inscrit dans un cercle dont l'un des côtés est le diamètre est un triangle rectangle et le côté correspondant au diamètre est son hypoténuse.

Duke.

EDIT : même si tu ne connais pas les coordonnées de A1 et A2, tu connais les longueurs OA1 et OA2.

Re-EDIT : Je crois que je suis allé un peu vite en fait...

[Duke Alchemist]

Re-

Je crois que c'est le raisonnement inverse en fait.
Tu sais que les triangles cités sont rectangle et tu dois retrouver que l'hypoténuse est OT...
Je m'embrouille là...

Duke.

[invite4572f55e]

Merci à vous deux j'ai trouvé la solution. En fait j'ai réussi à prouvé que TA1O est un triangle rectangle en A1, donc ....... ensuite avec la propriété qu'à rappelé Duke on démontre que A1 et A2 appartiennent à C'

Merci encore à+