Salut !
Ceux qui ont passé les olympiades, comment les avez-vous trouvées ?
Pour ma part, j'ai fait l'exercice 1, les 3/4 de l'exercice 2, les 3/4 de l'exercice 3 et un tout petit petit bout de l'exercice 4...
par ailleurs, je reste persuadé que pour ce genre de concours, l'entrainement paye et j'ai été prévenu une semaine avant que je les passais...
PS : non non , je ne plagie pas le sujet intitulé concours général 2011...
Salut
Pourrais tu nous photocopier le scanner, pour qu'on s'amuse tous
ciao
Perso je m etais vraiment bien entraine j avais fait une vingtaine d exos des annees precedentes et meme si je m etais plante sur quelques uns j en avais reussi une majorite
Mais la c etait bcp plus dur que ce a quoi je m attendais...
J ai bien reussi le 1, c est la dificulte a laquelle je pensais etre confronte, mais le 2 j ai pas depasse la moitie... (Est ce que c est pck j ai encore jamais entendu parler de suites en cours ? ^^)
Le 3 j ai reussi dans l ensemble, sauf la derniere question ...
Le 4 j ai fait des ptits schemas sur ma copie xD et j ai su repondre qu a la premiere question.
Autrement dit, ca fait tres tres mal !
Mais tout le monde a foiré les exos galere (2 et 4..) dans mon bahut donc ca me rassure un peu quand meme.
Ca m interesserait beaucoup d avoir une correction du 2eme vous etes arrivé a quoi ? ( c etait le singe qui saute en n bonds de plus en plus grands pour arriver en abscisse n)
oui moi aussi en jetant un coup d'oeil aux années précédentes je le trouve bcp plus dur. Le sujet arrive
Voilà, si j'ai réussi le sujet est là.
T es arrive ou dans l exercice 2 ?
j'ai fait la 4 avec une démo tirée par les cheveux et la 5b) mais pas la 5a et la 6.
Et toi ?
J'ai finni le lycée, mais je veux participer aux Olympiades, comment je peux faire?
Bah tu peux pas. C'est reservé aux premières. Tu penses pas que ça serait un peu inégal non ?
J"ai participé pour l'académie de paris.
Personnelement j'ai fait le premier exo, les trois quarts du second.
J'ai a peine touché au 4ème (qui est différent du tien puisqu'on est pas de la même académie) mais j'ai fait presque tout le trois...
En y réfléchissant, l'ensemble des questions étaient largement faisable, hormis la 4 du 2. COmment t'as fait d'ailleurs?
Cela reste une bonne expérience.
j'ai bidouillé un truc en remarquant que pour un n^2 donné, en additionnant jusqu'à n puis en soustrayant, puis additionnant, puis soustrayant... on arrivait jusqu'à n^2. Mais bon, j'y crois pas trop à ma démo.
J ai retourne la question dans tout les sens mais j ai compris comment faire la 5 que plus tard dans la journee ^^
Du coup jme suis arrete a la 4 a laquelle j ai meme pas repondu
Tu pourrais developper ce que t as fait stp ?
Pck cette question reste un grand mystere pour tous j ai l impression ...
En fait, tu poses m.
La somme des entiers de 1 à m est donnée par la relation (m(m+1))/2.
On est d'accord que si m^2 est atteignable alors la somme ( avec des différences de temps en temps) des entiers consecutifs jusqu'à m^2 - 1 est égale à 0.
Comme je l'ai dit dans mon précédent message, on remarque qu'en faisant la somme des entiers jusqu'à m puis en soustrayant puis en additionnant... jusqu'à l'addition finale, on retrouve m^2.
Alors faisons cette somme.
On a:
(m(m+1)/2)-(m+1) + ... - (m^2 -1)
Puis la attention tu fais une somme dans une somme si je puis dire donc tu dois (enfin je crois) passer les -(m+1) + ... - (m^2 -1) directement au numérateur sans multiplier par deux et tu trouves 0. Ce qui nous montre bien, d'après moi qu'un carré est toujours atteignable.
Pourquoi est ce que tu commences par soustraire (m+1) ??
Bah tu fais la somme jusqu'à m puis tu enleves m+1 puis tu rajoutes m+2 puis tu enleves m+3 et ça marche normalement.
Ah ok je vois !
J avais pas remarque que qd tu faisais 9 par exemple tu soustrayais a partir de 4..
La partie 2 est basee sur une demonstration par recurrences ...
il faut montrer que si c'est vrai pour n alors cela est vrai pour n+1
et que bien sur c'est vrai pour 1^2.
moi j'aurais fais comme ceci ...
d'abord pour l'antipasti, jaurais essaye pour 4, 9 et 16, pour voir comment cela prend forme
cela aurait donne:
S4 = (1 + 2 -3) + 4 = 4
S9 = (1 + 2 -3) + (4 + 5 + 6) + ( -7 -8) + 9 = 9
S16 = (1 + 2 -3) + (4 + 5 + 6) + ( -7 -8) + (9+10+11+12) + (-13-14-15) + 16 = 16.
On voit qu'en groupant les nombres par segments, il arrivent a s'annuler.
Et surtout on voit qu'entre 2 carres consecutifs (exemple S9 et S16)
la disposition des signes n'a pas a changer, en fait on voit que si cela marche pour S9, cela marche pour S16 car
S16 = (S9 + 10 + 11 + 12) + (-13-14-15) + 16 = 16.
La je me dis ca sent la recurrence (quand cela marche pour l'un cela marche pour le suivant)
Je m'interresse alors a 2 nombres carres qui se suivent ...
Si n est un carre, alors n = k^2,
j'essaie de voir si c'est vrai pour k, comment cela peut etre vrai pour k+1
Combien y a-t-il de nombres entre 2 carres qui se suivent ?
le nombre d'entiers entre 2 carres qui se suivent est de (k+1)^2 - k^2 = 2k +1.
il y a donc 2k nombres entiers strictement entre 2 carres consecutifs (k^2 et (k+1)^2)
exemple entre 9 et 16 il y a (2*3) = 6 entiers (10, 11, 12, 13, 14 et 15)
Em m'inspirant des antipastis,
Je montre que la somme des k entiers suivant n s'annule avec les k suivants.
je partage le segment des entiers [1 .. 2k+1] entre un carre [k^2]et le suivant en 2 parties de la maniere qui suit
tk = [k^2+ 1 ... k^2 + k] et uk = [k^2 + k+1 .. k^2 + 2k-1]
Chaque portion compte k entiers
[exemple pour k=3, les entiers strictement entre 9 et 16 sont
10 11 12 13 14 15
se divise en 10 11 12 et 13 14 15
J'appelle Tk la somme des entiers de tk et Uk la sommes des entiers de uk (je factorise le k^2)
Tk = [1 + 2 + ... + k ] + k^2 * k
Uk = [(k+1) + (k+3) + ... + 2k ] + k^2 * k
exemple pour k=3
Tk = 10 + 11 + 12 = (1 + 2 + 3) + 9*3
Uk = 13 + 14 + 15 = (4 + 5 + 6) + 9*3
Je calcule Uk - Tk
la ruse ici (si tu ne veux pas passer par la formule proposee dans l'ennonce ...)
est de mettre dans chaque terme de Uk en face d'un terme de Tk,
comme ceci :
k+1 - 1
+ k+2 - 2
+ k+3 - 3
+ ....
+ 2k - k
+ k*k^2 - k*k^2
Chaque difference est une constante (k (pour les k premiers termes)
donc Uk - Tk = k * k + k^3 -k^3 = k^2 (oh magie (1))
(c'est bien ce que l'on voit par exemple pour n=9, k=3,
la somme 13 + 14 + 15 differe de la somme de 10 + 11 + 12 de 9 (3^2)
Il ne reste plus au'a conclure ...
Donc si pour n = k^2,
Sn = n (vrai pour n)
Sn+1 pouvant s'ecrire Sn - (Uk -Tk) + (n+1)
Uk -Tk etant egal a k^2
Sn+1 = n -k^2 + n+1 = n+1.
Donc l'egalite est vraie pour n+1
cqfd
Je crois que tu n as pas pris en compte le fait que le singe doit rester dans l intervalle [0;n]
Ainsi, dans :
S9 = (1 + 2 -3) + (4 + 5 + 6) + ( -7 -8) + 9 = 9
Lorsqu on ajoute 4, 5 et 6, on dépasse 9 on arrive à 15.
Pour que ca marche il faut ajouter 1+2+....+n puis soustraire (n+1), ajouter (n+2), soustraire (n+3) etc... jusqu'a n^2
Donc pour 16 :
1+2+3+4 -5 +6 -7 +8 -9 +10 -11 +12 -13 +14 -15 +16 = 16
