Primitives / Intégration

[invite48ca7510]

Bonjour à tous,

je suis face à un énoncé et j'aimerais savoir si mes pistes sont bonnes...

Énoncé:
1) Écrire sous forme intégrale la primitive F, s'annulant en 0, de la fonction f définie par f(x) : (1-x)
2) Calculer F(x) pour tout x réel
3) Faire une étude de la fonction f sur R, et donner les points d'intersections courbe/Ox.
4) Calculer F(1). Interpréter le résultat géométriquement.
5) Déterminer la limite de F(x) en - l'infini et interpréter ce résultat géométriquement.
6) Donner l'aire du domaine formé des points M(x;y) tels que : x < 1 et 0 < y < f(x).


Alors :
1)
2) Je fais l'intégration par partie
3) Je fais dérivée + signe dérivée; variations de f. TVI Monotone pour f(x) = 0
4) je calculer F(1) avec le F(x) que je trouverais à la question 2 et j'interprèterais
5) je fais la limite et j'interprèterais
6) là, je ne sais pas....



Voilà, j'espère être sur la bonne voie, je le ferais dans la soirée et je posterais l'évolution de ma résolution si ça ne vous dérange pas !

Merci !
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[invite9315eae6]

Salut,

Tes pistes sont toutes bonnes donc t'as plus qu'à appliquer

Pour la question 6, il s'agit de calculer l'intégrale de f entre les bornes définies par les conditions x<1 et 0<y<f(x) autrement dit, il s'agit de calculer F(1)-F(-infini) à l'aide des valeurs trouvées aux questions 4 et 5.

Pisces

[invite48ca7510]

Bonsoir,

pour la 1, je trouve :

F(x) =

Je voulais savoir si c'était bon, mais aussi quelque chose d'autre : je dois maintenant remplacer par les valeurs... Lorsque je remplace par x, finalement rien ne change dans l'expression non ?

Dans ce cas, je trouve alors :
F(x) =

[invite9315eae6]

Bonsoir,

Ton expression de F(x) est la bonne donc pas d'inquiétude^^

En ce qui concerne ton problème de changement de variable il provient juste d'une petite erreur dans la formulation de ton intégrale : il faut intégrer f(t) de 0 à x et non pas f(x) (en calcul intégral, la variable d'intégration doit-être différente des "variable de bornes")

Pisces

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite48ca7510]

Bonjour,

pour la 1 alors :

F(t) =

et donc, pour la question 2 (calculer F(x)) :
F(x) =

c'est juste ? en tout cas merci pour les réponses

[invite0a963149]

Salut,

énorme choucroute là

D'une part, ne jamais, mais alors ne jamais mettre la même variable d'intégration que ton inconnue !!

On appelle ça une variable muette, donc tu peux mettre u, v, t, y, toto, obfzojbfqohoscqoscqjjnjjdcouco uqcggggd, ou s mais pas x (pas de chance t'avais une chance sur une infinité de ne pas choisir la bonne ^^)

Cette variable en fait de sert juste a travailler ton intégrale et n'apparaitra pas dans ton résultat.

Deuxième choucroute (moindre il est vrai) n'oublies jamais, mais alors jamais le terme différentiel (le "dt") dans ton intégrale sinon ça devient juste une vaguelette avec des chiffres et des lettres au dessus en dessous et a côté !

Voilou !

Ciao

[invite48ca7510]

Salut,

ouais je sais que là j'ai fais une jolie c*nnerie, que j'ai corrigé dans mon dernier post

Et je voulais savoir si maintenant, c'était juste. Parce que "caculer F(x)"... A part trouver une expression qui dépend de x, je ne trouve pas de nombre fini.

Ensuite, pour la suite de l'exercice :
3) la dérivée de f est positive sur ]-oo; 0.5] et négative sur [0.5; +oo[ donc f est croissante puis décroissante. Cf ne coupe l'axe des abscisses qu'une seule fois, quand x=1.

Pour les autres, je dois savoir si mon expression de F est juste...

Merci d'avance

[invite9315eae6]

Salut,

Je t'ai déjà confirmé que ton expression était juste donc continue le travail (ton étude de fonction est aussi exacte donc passe à la question 4)

[invite48ca7510]

Salut,

alors :

pour la 4), je trouve F(1) = -0.5
pour la 5), je trouve que limF(x) en -oo = 0

Par contre, pour les interprétations, bah... pas grand chose ! Je sais que quand x=1, la dérivée de F(x), soit f(x), s'annule; et que les deux ont la même limite en -oo. Je ne vois pas quelle interprétation géométrique faire, à part peut-être que cf et cF admettent en -oo une asymptote horizontale d'équation y = 0.

[invite9315eae6]

Salut,

Désolé de te dire ça, mais tes deux calculs (F(1) et limF(x) en -infini) sont faux... Donc reprend les tranquillement en sachant que tu a commis les erreurs suivante :

Pour F(1), tu as sans doute considéré (e^2)/4=1/4 (étourderie la plus probable)
Pour limF(x) en -infini, je vois pas où tu à pu commettre une erreur à part dans le calcul de la limite de l'exponentielle en -infini (souvient toi que lim exp(x) en -infini =0)

Pisces

[invite48ca7510]

Salut,

effectivement, tu as vu juste

F(1) =
lim F(x) = -3/4

Verdict ?

[invite9315eae6]

Là je suis d'accord

Maintenant, en ce qui concerne l’interprétation géométrique tu as surement vu dans ton cours que l'intégrale de f entre a et b correspond à l'aire comprise entre l'axe des abscisses et la courbe f sur l'intervalle [a,b]

Donc ici, F(1) représente l'aire définie par ... (je te laisse deviner la suite pour voir si tu as compris) et idem pour limF(x) en -infini.

NB: A ton niveau, lorsque que l'on demande une interprétation géométrique d'une intégrale il suffit juste de reprendre la définition que je t'ai rappelé en l'appliquant sur l'intervalle demandé

Pisces

[invite48ca7510]

Salut,

donc F(1) représente les points M(x;y) tels que 0<x<1 et 0<F(x)<F(1) ?

Pour la limite, je ne vois pas trop par contre...

[invite9315eae6]

Pas tout à fait, F(1) représente les points M(x,y) tels que 0<x<1 et 0<y<f(x)

Explication à partir de la définition :

L'intégrale de f entre 0 et 1 (=F(1)-F(0)=F(1), car F(0)=0) correspond à l'aire comprise entre l'axe des abscisses et la courbe f sur l'intervalle [0,1].
Or sur cet intervalle f est positive donc pour tout x dans [0,1], y (=f(x)) est dans l'intervalle [0,f(x)].

D'où F(1) est l'ensemble des points M(x,y) tq 0<x<1 et 0<y<f(x)

PS: Je sais pas si les couleurs t'aident à comprendre le raisonnement.

Ensuite, pour la limite, tu appliques le même schéma pour x dans ]-infini, 0]

Pisces

[invite48ca7510]

Merci, c'est sympa l'explication (et oui, les couleurs m'aident ^^ d'ailleurs, mon cours est composé d'environ 6 couleurs différentes, comme des sortes de "boites" )

Je ferais la suite demain, là je vais lire mon Einstein

Bonne soirée à tous et à demain !

[invite48ca7510]

Bonjour,

alors, pour voir si j'ai tout compris :

Pour F(1) :
F est une primitive de f. L'intégrale de f de 0 à 1, que l'on calcule en faisant F(1) - F(0), représente l'aire comprise entre l'axe des abscisses, la courbe de f, et les droites d'équation x=0 et x=1.
Donc F(1) est l'ensemble de points tels que : 0<x<1 et 0<y<f(x).

Par contre, en ce qui concerne la limite, je dois dire que l'ensemble de points se rapproche de 0 lorsque x tend vers l'infini ?

[invite9315eae6]

Salut,

Pour F(1) t'as compris le principe.
Maintenant, pour F(-infini) il faut raisonner exactement de la même façon (je vois pas ce qui te gène pour ce cas là) donc reprend l'explication colorée que j'ai donné en l'appliquant à l'intervalle ]-infini,0] et ça devrait aller...

PS: Il faut que tu donnes une réponse de la forme "F(-infini) est l'ensemble de points tels que : ...<x<... et ...<y<..."

Pisces

[invite48ca7510]

Salut,

donc, pour F(-oo) :

On calcule l'aire qui se trouve entre l'axe des abscisses, la courbe, la droite d'équation 0 et -oo ?
Si oui, alors F(-oo) est l'ensemble des points tels que -oo<x<0 et f(x)<y<0 ?

(ça me semble bizarre en fait...) Le -oo me gène vraiment, parce que ce n'est pas un nombre.

[invite9315eae6]

Je sais bien, c'est pour ça que tu peux dire que : F(-oo) est l'ensemble des points tels que x<0 et 0<y<f(x) (attention, ta fonction f est toujours positive sur ]-00, 0] !!!)

Pisces

[invite48ca7510]

Ok Ok, merci beaucoup !

J'ai eu le corrigé aujourd'hui, et tu avais tout juste

Bonne soirée à toi et à tous ceux qui m'ont aidé !