Suites

[invite1661feae]

Bonjour à tous!

Après avoir passer assez de temps sur cet exercice, j'aimerais avoir votre aide pour quelques questions..

Enoncé: Soient (Un), n appartient à N* et Vn, n appartient à N*, les suites définies par:

Un = 1/(1²+1) + 1/(2²+1)+...+ 1/(n²+1) = SOMME,n,k=1 (1/(k²+1)

et Vn = Un + (1/n)

1. calculer U1, U2, U3, V1, V2 et V3
Fait: U1=1/2 ; U2=7/10 ; U3=8/10
V1=3/2 ; V2=12/10 ; V3=34/30

2. Montrer que la suite (Un) est croissante
3. Montrer que la suite (Vn) est décroissante
Fait: Par récurrence, P1 est vraie comme U1 est vraie, d'où Pn est vraie. Pn+1 est vraie, " Un+1 > Un"

Pour Vn, P1 est vraie comme V1 est vraie donc Pn est vraie. Pn+1 est vraie car n < n+1
1/n > 1/n+1
Un + 1/n > Un+1 + 1/n+1

4. En déduire que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une même limite noté l.
Je pensais dire que si Un est croissante et converge vers un réel L alors, Lim n+infini de Un = l et lim n+infini de Vn = l + 1/n - je ne suis pas sur de ça.-

Le reste là je n'y arrive pas...
5. Déterminer une valeur de n tel que Un soit une valeur approchée de l à 10^-1 près
6. Donner une valeur approchée de l à 10^-1 ( j'ai une ti-82)

Merci d'avance
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[invitea3eb043e]

4. En déduire que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une même limite noté l.
Je pensais dire que si Un est croissante et converge vers un réel L alors, Lim n+infini de Un = l et lim n+infini de Vn = l + 1/n - je ne suis pas sur de ça.-

Le reste là je n'y arrive pas...
5. Déterminer une valeur de n tel que Un soit une valeur approchée de l à 10^-1 près
6. Donner une valeur approchée de l à 10^-1 ( j'ai une ti-82)

Merci d'avance

La limite de Vn ne peut contenir n mais comme la différence Vn - Un tend vers zéro (c'est 1/n), théorème des gendarmes, même limite.
Tu vois que Un et Vn prennent L en sandwich donc la valeur de L-Un est inférieure à Vn - Un. Fais un dessin.
Ensuite pour 6, simple question de programmation.

[invite1661feae]

D'accord merci, j'ai corrigé ma faute pour la question 4.
Cependant pour la question 5 je ne vois pas comment on peut montrer la valeur de l...

Aussi pour la programmation, il n'y a pas une astuce pour afficher les courbes sur une ti-82?

[invitea3eb043e]

Je ne connais pas la TI 82 mais on voit que si Vn et Un diffèrent de moins de 0,1, c'est que l'on a la limite à 0,1 près (fais un dessin).
Donc, on calcule 10 termes de Un et on a bon, par défaut, à 0,1 près.
N.B. On comprend que 0,1 est un écart absolu, pas relatif, ce qui compliquerait un petit peu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a963149]

euh par contre tes recurrences me genent, il suffit juste de montrer que pour n'importe quel n Un+1<Un ou Un+1>Un

Une récurrence pour ça, c'est sortir un tank pour tuer un moustique

[invite1661feae]

JeanPaul: Ok d'accord, merci en tout cas!

Blablatitude: Oui j'ai corrigé ça en montrant Un+1 - Un est négatif et Vn+1 - Vn est positif!

[invite0a963149]

Parfait pour moi en tout cas.