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Suites



  1. #1
    J_uulien

    Suites

    Bonjour à tous!

    Après avoir passer assez de temps sur cet exercice, j'aimerais avoir votre aide pour quelques questions..

    Enoncé: Soient (Un), n appartient à N* et Vn, n appartient à N*, les suites définies par:

    Un = 1/(12+1) + 1/(22+1)+...+ 1/(n2+1) = SOMME,n,k=1 (1/(k2+1)

    et Vn = Un + (1/n)

    1. calculer U1, U2, U3, V1, V2 et V3
    Fait: U1=1/2 ; U2=7/10 ; U3=8/10
    V1=3/2 ; V2=12/10 ; V3=34/30


    2. Montrer que la suite (Un) est croissante
    3. Montrer que la suite (Vn) est décroissante
    Fait: Par récurrence, P1 est vraie comme U1 est vraie, d'où Pn est vraie. Pn+1 est vraie, " Un+1 > Un"

    Pour Vn, P1 est vraie comme V1 est vraie donc Pn est vraie. Pn+1 est vraie car n < n+1
    1/n > 1/n+1
    Un + 1/n > Un+1 + 1/n+1


    4. En déduire que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une même limite noté l.
    Je pensais dire que si Un est croissante et converge vers un réel L alors, Lim n+infini de Un = l et lim n+infini de Vn = l + 1/n - je ne suis pas sur de ça.-

    Le reste là je n'y arrive pas...
    5. Déterminer une valeur de n tel que Un soit une valeur approchée de l à 10-1 près
    6. Donner une valeur approchée de l à 10-1 ( j'ai une ti-82)

    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Suites

    Citation Envoyé par J_uulien Voir le message
    4. En déduire que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une même limite noté l.
    Je pensais dire que si Un est croissante et converge vers un réel L alors, Lim n+infini de Un = l et lim n+infini de Vn = l + 1/n - je ne suis pas sur de ça.-

    Le reste là je n'y arrive pas...
    5. Déterminer une valeur de n tel que Un soit une valeur approchée de l à 10-1 près
    6. Donner une valeur approchée de l à 10-1 ( j'ai une ti-82)

    Merci d'avance
    La limite de Vn ne peut contenir n mais comme la différence Vn - Un tend vers zéro (c'est 1/n), théorème des gendarmes, même limite.
    Tu vois que Un et Vn prennent L en sandwich donc la valeur de L-Un est inférieure à Vn - Un. Fais un dessin.
    Ensuite pour 6, simple question de programmation.

  4. #3
    J_uulien

    Re : Suites

    D'accord merci, j'ai corrigé ma faute pour la question 4.
    Cependant pour la question 5 je ne vois pas comment on peut montrer la valeur de l...

    Aussi pour la programmation, il n'y a pas une astuce pour afficher les courbes sur une ti-82?

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Suites

    Je ne connais pas la TI 82 mais on voit que si Vn et Un diffèrent de moins de 0,1, c'est que l'on a la limite à 0,1 près (fais un dessin).
    Donc, on calcule 10 termes de Un et on a bon, par défaut, à 0,1 près.
    N.B. On comprend que 0,1 est un écart absolu, pas relatif, ce qui compliquerait un petit peu.

  6. #5
    blablatitude

    Re : Suites

    euh par contre tes recurrences me genent, il suffit juste de montrer que pour n'importe quel n Un+1<Un ou Un+1>Un

    Une récurrence pour ça, c'est sortir un tank pour tuer un moustique

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    J_uulien

    Re : Suites

    JeanPaul: Ok d'accord, merci en tout cas!

    Blablatitude: Oui j'ai corrigé ça en montrant Un+1 - Un est négatif et Vn+1 - Vn est positif!

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  10. #7
    blablatitude

    Re : Suites

    Parfait pour moi en tout cas.

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