calcule de la longueur de la corde d'un arc de cercle

[inviteadf76be0]

Bonjour

Quelqu'un saurait comment on calcule la longueur de la corde d'un arc de cercle, quand l'on dispose de la longueur du rayon de la longueur de l'arc de cercle, et de l'angle entre les extrémités de l'arc de cercle?
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[invite7265fdfc]

Bonsoir,

Soit O le centre du cercle de rayon R, et soit l'arc AB d'angle au centre a. (a<180°)

La corde [AB] est la base du triangle isocèle OAB (OA=OB=R).
La hauteur issue de O coupe [AB] en I, milieu de [AB], car OAB est isocèle. (OI) est aussi la bissectrice de l'angle AÔB.

Dans le triangle rectangle IAO on a:
sin(a/2)=AI/R
donc la longueur de [AB], c-a-d la longueur de la corde est:
L = 2Rsin(a/2)

[inviteadf76be0]

j'ai pas dû tout piger, parce que je trouve un résultat négatif, et pour une longueur c'est pas bien logique
dans "L=2Rsin(a/2)", a c'est bien un angle?

[invite7265fdfc]

Oui, a est un angle, c'est l'angle au centre de l'arc AB (j'aurais préféré l'appeler alpha, mais je voulais aller vite). Quand 0 <= a <= 180°, sin (a) >=0, ainsi que sin(a/2). L'angle a vaut combien dans ton exercice? N'oublie pas de régler (dans les menus de réglage) ta calculatrice en degrés (si ton angle est donné en degrés) car sinon, la calculatrice croit que ton angle est en radians. Le radian est une autre mesure d'angle. Cela me donne l'occasion de rappeler la relation entre les deux unités:
pi rd = 180°
1 rd = 180/pi °
1° = pi/180 rd

Si tu veux, j'envoie une figure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Eurole]

Oui, a est un angle, c'est l'angle au centre de l'arc AB (j'aurais préféré l'appeler alpha, mais je voulais aller vite). Quand 0 <= a <= 180°, sin (a) >=0, ainsi que sin(a/2). ...

Bonjour chlorydrique
On peut écrire en utilisant la balise TeX
Quand 0 <= <= 180°, sin () >=0, ainsi que sin(/2).

Cela me donne l'occasion de rappeler la relation entre les deux unités:
pi rd = 180°
1 rd = 180/pi °
1° = pi/180 rd
Si tu veux, j'envoie une figure.

Cette figure serait utile non seulement à kaktus-38 mais à l'ensemble du forum.
La plupart des discussions pataugent à défaut des dessins qui en sont la base visuelle.

[invite7265fdfc]

J'essaierai d'utiliser TeX plus souvent!

Voici une figure. (Il s'agit d'une figure de géométrie euclidienne plane).

[invite7265fdfc]

J'essaie de renvoyer l'image car manifestement je m'y suis mal pris!

http://forums.futura-sciences.com/at...1&d=1302556648

[Eurole]

...oici une figure. (Il s'agit d'une figure de géométrie euclidienne plane).

Merci pour ce dessin qui fait respirer le forum.
Il est intéressant de comparer ce dessin avec celui de l'angle inscrit.

[invite7265fdfc]

C'est effectivement intéressant de compléter la figure par A' symétrique de A par rapport à O. En effet l'angle est un angle inscrit (dans le cercle) qui intercepte l'arc . D'après un théorème bien connu, cet angle a pour mesure la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc, à savoir . Donc il a pour mesure . D'autre part le triangle AA'B est rectangle (d'après un théorème bien connu également: un triangle inscrit dans un cercle et qui a pour côté un diamètre de ce cercle est rectangle au point opposé au diamètre). On peut ensuite calculer directement la longueur de la corde [AB] en utilisant une relation trigonométrique dans le triangle rectangle AA'B : .

Je joins un lien vers l'image d'Eurole (merci à vous Eurole) complétée par la mention de A'.

http://forums.futura-sciences.com/at...1&d=1302639111

[invite7265fdfc]

Je me suis trompé à la fin de mon précédent message: c'est .../2R, pas .../R. Scusi!

Je peux proposer une autre formule, que je viens de retrouver en feuilletant Geometry: Euclid and Beyond, de Robin Hartshorne (éditions Springer).

, jolie formule, qui fait intervenir directement l'angle .

On peut la démontrer en utilisant la loi des cosinus (comme disent les Anglo-Saxons) dans le triangle OAB:





On peut aussi partir de la formule que j'ai donnée précédemment et la transformer en utilisant quelques égalités trigonométriques.

[invite9e0078fc]

Bonjour

Merci pour ce débat.
Pour ma part, je connais cette formule. Cependant, je ne trouve pas la formule permettant de calculer la corde en ne connaissant QUE la longueur du rayon de la longueur de l'arc de cercle, sachant que pour un rayon donné, il n'existe qu'une longueur de corde possible pour un arc donné.

Y aurait-il un matheux susceptible de me renseigner?

Ci joint les données du problème avec le maximum de détails... ()

[invite7265fdfc]

Bonjour Axe54fr,

La longueur de la corde d'angle a et d' extrêmités A et B est AB = 2Rsin(a/2) (1)

La longueur de l'arc de cercle d'angle a et d' extrêmités A et B est: (2) (si a en radians)

D'où, si a est en radians:



Ce qui permet d'obtenir a par:

une fois qu'on a l'angle a, on peut calculer par la formule (2)

[invite9e0078fc]

Merci, mais je connais cette réflexion, Cependant, pour la réaliser, il faur DEJA connaitre les valeurs de AB arc et AB corde!!!
C'est le chien qui se mord la queue!!!
Merci quand même

[Jon83]

Bonjour

Cependant, je ne trouve pas la formule permettant de calculer la corde en ne connaissant QUE la longueur du rayon de la longueur de l'arc de cercle, sachant que pour un rayon donné, il n'existe qu'une longueur de corde possible pour un arc donné.

Y aurait-il un matheux susceptible de me renseigner?

()

Bonjour!

[Jon83]

Dans ton cas de figure:

[invite9e0078fc]

Bravo1:
Merci beaucoup Jon83...
et merci à tout le monde...
à la prochaine carence de mes connaissances!!! mdr :

[invite9e0078fc]

Re...

Au fait Chloridrique, quand tu donnes des formules ou des rectifications, soit plus clair et précis, stp.
Dans ton énnoncé de correction, indique la formule finale réèlle stp.


et dans ton énnoncé suivant :
Ce qui permet d'obtenir a par:
que représente '''' ???

Merci encore à tous...

[invitefe2bb429]

Déplacé dans un nouveau post.