Bonjour à tous,
J'ai un devoir maison à faire sur l'application du produit scalaire et je suis bloqué à 3 questions. Je vous donne l'énoncé :
La formule de Héron
On connaît les mesures des trois côtés d'un triangle ABC et on se propose de calculer l'aire du triangle. Avec les notation usuelles, l'aire S est égale à 1/2bc sinA. Pour obtenir S en fonction de a, b,c il faut donc calculer sinA en fonction de a, b, c.
1. a) D'après le théorème d'Al Kashi, a² = b² + c² - 2bc cosA.
Déduisez-en que (4b²c²) sin² A = 4b²c² - (b² + c² - a²)².
b) On note 2p le périmètre du triangle ABC donc 2p = a + b + c.
D&montrez que (b²c²) sin² A = 4p(p - a)(p - b)(p - c).
2. Déduisez-en que S = racine carrée de p(p - a)(p - b)(p - c).
Voilà pour l'énoncé.
Maintenant je vais vous dire mes recherches si ça peut vous aidez et pour voir si je ne me suis pas trompé :
Pour calculer sinA en fonction de a, b et c, j'ai fais comme ça :
sin² A = 1 - cos² A
= 1 - (1 + cos(2a) /2)
= (1+ cos(2a) /2)
= (1 + (2cos² A - 1)/2
= (1 + 2cos² A - 1)/2
= cos² A
a² = b² + c² - 2bc cos A
-b² -c² - (a² / 2bc) = cos A
- (b² + c² + (a² / 2bc) = cos A
cos² A = - (b² + c² + (a² / 2bc))²
Donc sin A = racine carrée de cos² A = - (b² + c² + (a² / 2bc))
Est-ce que j'ai bon ?
Comment fait-on ensuite pour retrouver l'autre formule ?
Aidez-moi svp
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