DM 1ère S, produit scalaire

[invitea9531dd1]

Bonjour, je suis élève en 1ère S, et j'ai un devoir à rendre pour le 7 mars 2010. J'ai essayé de réfléchir desssus mais je ne comprend vraiment, mais alors vraiment rien aux produits scalaire, malgrès le fait que je regarde sur mes cours, sur internet, sur des "mégaBAC"..

Je sollicite donc votre aide pour ce DM ..

Exercice 1.

Soit C un cercle de diamètre [AB] et de centre O, I le milieu de [OB]. On note r le rayon de C. On trace n'importe quelle droite parallèle à (AB) coupant C en deux points distincts, M et N.

1. Montrer que vecteur IO. vecteur OM= -vecteur IO. vecteur ON

2. En déduire que la quantité vecteur IM²+ vecteur IN² est indépendante de choix de la droite tracée en exprimant sa valeur en fonction de r. On utilisera la relation de Chasles.

3. Application: on suppose que r=5 (en cm) et que IMN est un triangle rectangle en I. Déterminer la longueur du segment [MN].

Exercice 2.

1. A l'aide de la forme trigonométrique du produit scalaire, démontrer que pour tout vecteur u et v:

valeur absolue ( vecteur u . vecteur v)< ou égal à (norme vecteur u * nome vecteur v)

2. En déduire que pour tous réels a,b,c,c on a: (ac+bd)² < ou égal (a²+b²)(c²+d²)

3. Dans quel cas a-t-on égalité?

Exercice 3.

Soit un triangle ABC rectangle en A. H est le pied de la hauteur issue de A; K et L sont les projetés orthogonaux de H sur (AB) et (AC). I est lemilieu de [BC]

1. Montrer que: 2vecteur AI. vecteur KL= vecteur AC. vecteur AL - vecteur AB. vecteur AK

2. En déduire que (KL) est perpendiculaire à (AI).

Voilà, merci d'avance et bonne chance ^^
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[invite0b269ea8]

Exercice 1
1) OMN isocèle en O donc vecteur(OM+ON) est perpendiculaire à MN donc à AB. En scalaire : (OM+ON).IO = 0 (car IO // AB) d'où ce qu'il faut
2) IM²+IN² = (IO+OM)² + (IO+ON)² le tout en vecteur. Règles de calcul sur le produit scalaire => en développant on simplifie les produits croisés avec question 1 et ca fait des chocapics.
3) facile

Exercice 2
1) |u.v| = ||u||.||v||.cos(u,v) et cos(u,v) <= 1
2) Applique ça aux vecteurs de coordonnées (a,b) et (c,d)
3) égalité ssi cos(u,v) = 1 soit (u,v) = 0 ou pi => vecteurs colinéaires

Exercice 3
1) un peu la flemme là, mais ça doit surement se faire avec des relations de Chasles essaye de partir du membre de gauche
2) AC*AL = AB*AK en longueurs, ca se montre en écrivant les rapports de longueurs dans les triangles semblables ABC LAH et KHA.

Voilà, dis moi si c'est peut-être trop rapide ^^
Raphaël

[invite7694dab6]

Bonjour j'ai le mm DM tes réponse mon aidé merci, mais je ne comprend pas comment tu fais pour l'exercice 2, si tu pourrais développer un peu plus ça serait gentil merci d'avance

[invite0b269ea8]

Pas de pb:

1) par définition du produit scalaire, u.v = ||u||.||v||.cos(u,v) donc, les normes étant positives, | u.v | = ||u||.||v||. | cos(u,v) | et on sait que la fonction cos est majorée/minorée par +1/-1, soit |cos(u,v)| < 1. En reportant : | u.v | < ||u||.||v||

2) a, b, c, d réels étant donnés, on considère u(a, b) et v(c, d)
u.v = ac + bd
||u|| = racine(a² + b²)
||v|| = racine(c² + d²)
Tout ça mis dans le résultat précédent fait :
| ac + bd | < racine(a² + b²) * racine(c² + d²)
et y'a plus qu'à mettre cette inégalité au carré. (ok car les 2 cotés sont positifs)

3) Cas d'égalité : | u.v | = ||u|| ||v|| si et seulement si |cos(u, v)|=1 (en revenant à la définition) ce qui équivaut à (u, v) = 0 ou pi (modulo 2pi), soit u et v colinéaires

Voilà !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7694dab6]

merci beaucoup

[invite33237d7e]

S'il vous plait je comprend rien vous pouvez détaillez un peut plus pour l'exercice 3 s'il vous plait

[invitea9531dd1]

Vous pourriez mieux expliquez l'exo 1 sil vous plait parce que je comprend pas ://