DM - 1ère S - Produit Scalaire - Problème : Distance d'un point à une droite

[invite6a20ed9c]

Bonjour,

Je suis en 1ère S,
Je n'avais jusqu'alors eu aucuns problèmes à réaliser mon travail, mais aujourd'hui j'ai vraiment beaucoup de difficultés.
Mon professeur n'étant pas contre l'aide, le soutien, j'ai pensé qu'il serait bon pour moi de venir sur ce forum.
J'ai posté sur un forum de mathématique, mais j'ai trouvé qu'il était assez difficile de travaillé sur celui-ci. En effet les réponses mettaient trop de temps à arriver. Étant donné que j'ai beaucoup de difficultés pour ce chapitre, c'était très embettant !

Le travail que je dois faire est un DM composé de deux exercices.
- Un sur le produit scalaire
- Un sur les polynômes du second degré

J'aurais aimé dans un premier temps, faire avec vous le première éxercice assez conséquent qui s'intitule : "Distance d'un point à une droite"




Exercice 89

a)
La droite D est en bleu


b)
Pour déterminer l'équation de la droite D' qui passe par A et perpendiculaire à D, il nous faut connaitre le coefficient directeur de la droite D. Nous savons que le coefficient directeur a = (Yb - Ya) / (Xb - Xa). Cependant nous pouvons voir Graphiquement que a = 3/2.

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Je suis bloqué ici, peut être que D' a comme équation (3/2)x + 1 = 0 puisque
A(2,1) et a =3/2. Je ne sais pas quoi faire ... je ne pense pas que c'est ca ...

Pour la c) je pense qu'il faut écrire

équation 1 = équation 2
et on trouve x = quelque chose, donc on a x. On a juste a trouvé y en remplacant la valeur de x dans l'équation 1...

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merci d'avance
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[Jeanpaul]

Derrière tout ça il y a une idée de base qu'il faut bien comprendre.
L'équation de la droite c'est 3 x - 2 y + 1 = 0 et il s'agit d'interpréter cette équation.
Déjà on peut l'écrire 3* (x + 1/3) - 2 * (y - 0) = 0
On aurait pu trouver bien d'autres écritures similaires mais celle-ci fera l'affaire.
On s'intéresse au point K dont les coordonnées sont [-1/3 ; 0] et au vecteur N dont les composantes sont [3 ; -2]. On va appeler M le point courant de la droite D (n'importe lequel quoi), ses coordonnées sont [x ; y], elles varient quand M parcourt la droite.
On voit alors que l'équation de la droite D n'est rien d'autre qu'écrire que le produit scalaire du vecteur KM et du vecteur N vaut zéro, donc que le vecteur KM est perpendiculaire au vecteur N. Le vecteur N est donc perpendiculaire à la droite D. Ses composantes sont donc les coefficients de x et y dans l'équation de D.
Comment trouver un vecteur parallèle à D ? Il suffit de trouver un vecteur perpendiculaire à N. Par exemple on va prendre le vecteur P de composantes [2 ; -3] mais on pourrait en trouver d'autres.
Comment trouver l'équation de la droite D' ? On va appeler F le point courant de cette droite, ses coordonnées sont [x ; y] et on va écrire que le produit scalaire AF.P vaut zéro.
AF a pour composantes [x-2 ; y - 1] (relation de Chasles) et P a pour composantes [2 ; -3] comme vu plus haut. Tu multiplies :
2*(x-2) - 3*(y-1) = 0 et tu développes. C'est l'équation de D'. Te reste à trouver l'intersection des 2 droites D et D' mais ça tu dois savoir faire.

[invite6a20ed9c]

Merci de ta réponse !

Je suis entrin de réfléchir dessus, je ne me souvenais plus que l'on pouvais faire ca avec une équation.
3* (x + 1/3) - 2 * (y - 0) = 0
on trouve le point K dont les coordonnées sont [-1/3 ; 0] et au vecteur N dont les composantes sont [3 ; -2].

Je ne trouve plus ca dans le cours, je sais que je l'ai utilisé souvent mais je ne retrouve plus ...

Pourrais tu, ou quelqu'un d'autre, me dire a quoi correspond le point K ?

C'est un point précis qui se situe sur la droite que l'on connais et qui n'a pas de propriétés particulières, ou alors il a une propriété particuliere ? par exemple il se situe sur l'axe de absices...

Merci !

[invite6a20ed9c]

Naurait-il pas été plus facile de prendre un vecteur v de composantes [ 2 ; 3 ]
que l'on trouve grace au coefficient directeur.
de trouvé le vecteur n comme tu l'as fait, on trouve [ 3 ; -2 ]

v . n = 0

Je pense que ton KM correspond a mon vecteur V.

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Ce que je comprend pas c'est que tu cherche un vecteur parallèle à D.
et tu dis qu' Il suffit de trouver un vecteur perpendiculaire à N. Par exemple on va prendre le vecteur P de composantes [2 ; -3].
mais le vecteur v que j'ai trouvé est [ 2 ; 3 ]. Comment est-ce possible ?

et apres je suis un peu embrouillé ^^.

On doit cherché une droite D' perpendiculaire a D, mais on dirait que tu ne cherches pas à faire ca, dumoin je ne comprend pas...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Merci de ta réponse !

Je suis entrin de réfléchir dessus, je ne me souvenais plus que l'on pouvais faire ca avec une équation.
3* (x + 1/3) - 2 * (y - 0) = 0
on trouve le point K dont les coordonnées sont [-1/3 ; 0] et au vecteur N dont les composantes sont [3 ; -2].

Je ne trouve plus ca dans le cours, je sais que je l'ai utilisé souvent mais je ne retrouve plus ...

Pourrais tu, ou quelqu'un d'autre, me dire a quoi correspond le point K ?

C'est un point précis qui se situe sur la droite que l'on connais et qui n'a pas de propriétés particulières, ou alors il a une propriété particuliere ? par exemple il se situe sur l'axe de absices...

Merci !

Le point K est pris n'importe où sur la droite, on aurait pu prendre le point de coordonnées [0 ; 1/2] par exemple du moment que ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.
Le vecteur [3 ; -2] est perpendiculaire à la droite, le vecteur [2 ; 3] est parallèle à la droite, on fait comme on veut.

[invite6a20ed9c]

Merci

J'ai réussi à faire ce qui à avant le A.

Pourriez vous me donner des indications pour faire le A ?

BA . n = HA . n
(BH + HA) . n = (HB + BA) . n

... je ne sais pas trop quoi faire ...

Merco

[Jeanpaul]

BH étant perpendiculaire au vecteur n, le produit scalaire BH.n est nul

[invite6a20ed9c]

Quelqu'un pourrait m'aider pour l'application b) du A s'il vous plait.

J'ai fait ça mais je bloque


b)

E(2;0)
F(-1;1)
G(3;4)

EF(-3 ; 1) -> sqrt(10) sqrt = racine carré

EG(1 ; 4) -> sqrt(17)

FG(4 ; 3) -> sqrt(25) = 5


Trouvons l'équation de la droite D qui a pour vecteur directeur FG(4 ; 3).
Pour cela nous devons trouvé le vecteur normal au vecteur FG

Le vecteur normal est orthogonal au vecteur FG, il y a donc deux solutions évidentes que l'on a trouvé grace au produit scalaire :

FG . n = xFG*xn + yFG*yn = 0
FG . n = 4*xn + 3*yn = 0

Il y a donc deux solutions évidentes :
n(-3; 4) ou n(3;-4)

3x - 4y + c = 0

3*2 - 4*0 + c = 0
c=-6



Pouvez vous aussi me donner des pistes pour le B ...

Merci

[invite6a20ed9c]

C'est bon j'y suis arrivé merci quand même !

Quelqu'un peut-il me donner de l'aide pour le :
B.
a)
b)
c)
Des indications ...

Merci

[invite6a20ed9c]

Dans le

a) je pense qu'il faut faire

||n|| = Racine_carré(a²+b²)

apres je sais pas dutout

Merci

[Jeanpaul]

Quelles sont les coordonnées du point A (on te les donne) ?
Quelles sont les coordonnées de B (pareil) ?
Quelle relation vérifient les coordonnées de B sachant que B est sur la droite ?
Quelles sont les composantes du vecteur BA ?
Quelles sont les coordonnées du vecteur n ?
Que vaut alors le produit scalaire BA.n ?
On remarque une combinaison intéressante des coordonnées de B (voir 2ème question ci-dessus).
Et ça donne directement la relation à démontrer.

[invite6a20ed9c]

Quelles sont les coordonnées du point A (on te les donne) ?

Quelles sont les coordonnées de B (pareil) ?
Quelle relation vérifient les coordonnées de B sachant que B est sur la droite ?
Quelles sont les composantes du vecteur BA ?
Quelles sont les coordonnées du vecteur n ?
Que vaut alors le produit scalaire BA.n ?
On remarque une combinaison intéressante des coordonnées de B (voir 2ème question ci-dessus).
Et ça donne directement la relation à démontrer.

A(xa; yb)
B(xb; yb)
BA(xa-xb ; ya-yb)
n(a ; b)

|BA . n|= (xa-xb)*a + (ya-yb)*b

____

On remarque une combinaison intéressante des coordonnées de B (voir 2ème question ci-dessus).
Et ça donne directement la relation à démontrer.
____

Je ne vois pas ...^^

Merci beaucoup

[Jeanpaul]

a xb + b yb ça vaut combien ? (regarde l'équation de ta droite et dis-toi que B est dessus donc que xb et yb vérifient la relation)

[invite6a20ed9c]

je ne vois pas
aurais tu un autre indice ^^ ?

Merci beaucoup !

[Jeanpaul]

B est sur la droite d'équation a x + b y + c = 0 donc
a xb + b yb + c = 0

[invite6a20ed9c]

je suis daccord mais ca m'avance a quoi ?

[invite6a20ed9c]

C'est bon j'y suis arrivé merci tu es vraiment gentil, je vais essayé de faire le B.
je ne sais pas si je vais y arrivé, merci pour toute ton aide