Vérification comportement asymptotique des fonctions (limites) :)

[benpotter]

Bonjour, si quelqu'un peut me dire si mon raisonnement est exact, ça serait sympa

Etudier pour les fonctions f et g la limite en a (+ infini)

f(x)=x+sin(x)

raisonnement :
lim (x)= +infini pour x tend vers + infini

Concernant sin(x) : Soit h(x) = sin(x), lorsque x tend vers + infini, h(x) n'a pas de limite car la valeur sin(x) oscille entre -1 et 1.
On sait donc que -1<(ou = ) sin(x) <(ou = ) 1
Or d'après la propriété concernant la limite d'une somme de fonctions:


Si h a pour limite en x0 : c ou +infini (ici, ce raisonnement fonctionne car, même si h(x) n'admet pas de limite lorsque x tend vers + infini, h(x) aura toujours une valeur c comprise entre +1 et 1 (nombre réel).
Si g a pour limite en x0 : +infini
alors h+g a pour limite en x0 : + infini

donc lim f(x) = + infini

g(x) = xsin(x) pour (x tend vers + infini)

raisonnement :
lim x = + infini lorsque x tend vers + infini

On sait d'après la question précédente que lorsque x tend vers + infini, sin(x) n'admet pas de limite mais prend une valeur qui oscille entre -1 et 1. Lorsque x tend vers + infini, sin(x) alterne donc entre des valeurs négatives et positives. On comprend donc que la fonction g diverge et ne présente pas de limite lorsque x tend vers + infini : elle oscille entre +infini et - infini.
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[invite0a963149]

Alors oui ton raisonnement est juste, mais peut etre un peu alambiqué.
Personnellement je dirai tout simplement :

La fonction sin est bornée et minorée par -1

Donc x-2<x+sin(x)

Appelons g : x |-> x-2, il s'agit d'une fonction affine usuel, sa limite est donc + l'infini en + l'infini

Par théorème de comparaison x+sin(x) a pour limite + inf en + inf

(Après peut être n'as tu pas encore vu les théorèmes de comparaison)

[benpotter]

ah oui, je vois, tu veux dire x+sin (x) est compris entre x-2 et x+2 qui ont pour limite + infini lorsque x tend vers +infini, donc d'après le théorème des comparaisons, x+sin (x) a pour limite + infini (pas bête ^^) et pour la seconde c'est bon?

[invite332de63a]

Bonjour,
il t'a même dit mieux c'est que tu n'as besoin que de l'inégalité gauche et pas de la droite tout simplement car tu as une limite qui est +oo.

[A voir en vidéo sur Futura]

[benpotter]

ça, j'avais pas vu en cours ; ) , au moins ça m'apprend des choses et pour la deconde (fonction g) c'est bon?

[benpotter]

ah c'est un théorème de comparaison, pas d'encardrement, je vois.

[invite0a963149]

oui en gros c'est t'es plus grand qu'un truc qui tend vers l'infini, ben je te laisse deviner ce qu'il se passe ^^

[invite0a963149]

pour le deuxième, ton truc est juste

[benpotter]

Ok merci bien

[inviteb14aa229]

Bonjour,

Moi je ferais :
x + sin(x) = x[1 + sin(x)/x]

[invite0a963149]

Avec un petit argument du type : on étudie le comportement en plus l'infini donc le cas x=0 n'est pas a prendre a part