Représentation infini / espaces

[Lechero]

Bonjour,

je suis en Tle S et, en cours, on a calculé plusieurs aires finies de fonctions infinies (par exemple, entre l'axe des ordonnés et l'infini). J'ai vraiment du mal à me représenter l'infini... Avez-vous des "trucs" (même si je sais que la perception est propre à chacun) pour m'aider à mieux me représenter l'infini ?

Même question pour les espaces : j'arrive sans problème à me représenter l'espace à 3 dimensions; mais au-delà, pas du tout... Quelles peuvent être ces autres dimensions (hormis le temps) ? Comment arriver à se les représenter ?

Merci d'avance (j'espère avoir posté au bon endroit), et bonne journée!
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[KeM]

Bonjour,

je suis en Tle S et, en cours, on a calculé plusieurs aires finies de fonctions infinies (par exemple, entre l'axe des ordonnés et l'infini). J'ai vraiment du mal à me représenter l'infini... Avez-vous des "trucs" (même si je sais que la perception est propre à chacun) pour m'aider à mieux me représenter l'infini ?

Je pense que tu as aussi un problème avec la notion de limite, si pour ton problème de fonctions "infinies" tu parles de l'aire de fonctions sur , je pense pouvoir t'éclairer :

Prenons par exemple la fonction


On peux donc interpréter géométriquement : Plus on prend un point t loin sur l'axe des abcisses (donc qui tend vers l'infini positif) et plus l'aire de la fonction entre 0 et t va se rapprocher de 1 mais sans jamais l'atteindre.
Si tu as un tableur du genre excel, tu peux essayer de comparer plusieurs valeur de l'aire pour des valeur de t très grandes.

Même question pour les espaces : j'arrive sans problème à me représenter l'espace à 3 dimensions; mais au-delà, pas du tout... Quelles peuvent être ces autres dimensions (hormis le temps) ? Comment arriver à se les représenter ?

Par des couleurs, des odeurs, tout ce qui est succeptible de marquer différentes densités. Un exemple avec les couleurs sur le plan complexe : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier...lute_value.png

[blablatitude]

l'infini ? euuuh comment t'exliquer.

Dans le plan, tu te places sur l'origine, et tu pars dans l'importe quelle direction de façon rectiligne, et bien tu auras beau marcher autant de temps que tu voudras, tu n'arriveras jamais au bout.

Il y a des choses petites, des choses grandes, et des choses qui n'ont pas de fin, c'est ça l'infini ...

[blablatitude]

es : j'arrive sans problème à me représenter l'espace à 3 dimensions; mais au-delà, pas du tout... Quelles peuvent être ces autres dimensions (hormis le temps) ? Comment arriver à se les représenter ?

Normal, personne ne le peut !

Il existe des moyens de se représenter tels que l'équivalent des courbes de niveau dans le plan avec des "surfaces de niveau" dans l'espace. Mais sinon c'est dur de se représenter, moi j'ai une représentation bien a moi d'un espace a plus de 3 dimensions avec plus de 3 axes, mais c'est spécial et inexplicable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lechero]

Merci pour vos réponses.

Ok donc pour les espaces, je laisse tomber pour l'instant.

Mais pas pour les aires. On a, par exemple dans le cas d'une suite, construit un "escargot" avec ses termes. On a ensuite calculé la limite de la suite, et trouvé un nombre fini, alors que l'aire, elle, était infinie.
Mais on l'a aussi fait avec des fonction, que ce soit en + ou - l'infini; avec des limites et des intégrales...
Mon problème est que je n'arrive pas à me représenter une aire finie de quelque chose d'infini...

[blablatitude]

fais attention, tu n'as pas calculé l'intégrale d'une suite, mais plutot d'une fonction !

L'aire définie par une suite (donc un ensemble de points) est forcément nulle.

Pour t'aider a te représenter, prenons la fonction constante égale a 1, elle tend vers 1 (logique) pourtant l'aire sous la courbe est infinie (on a un rectangle de largeur 1 et de longueur infinie)

[Lechero]

Je n'ai pas dis avoir calculé l'intégrale d'une suite ^^

Pour ton exemple (fonct° constante), je comprends.
Mais pour des fonction "normales", je n'arrive pas à me représenter que quelque chose d'infini puisse avoir une aire finie.

Dans l'exemple de KeM, je n'arrive pas à me représenter que l'aire entre la courbe de et l'axe des abscisses en +oo puisse avoir un nombre fini, alors que la courbe ne s'arrête jamais d'aller "plus loin" (même si elle se rapproche infiniment de 0). Vous voyez ce que je veux dire ?

[blablatitude]

ah ok je vois.

euuuuuh dur dur le l'expliquer, c'est comme une histoire de limite ...

par exemple et ont des graphes qui se ressemblent et pourtant la première fonction diverge tandis que l'autre converge.

C'est cet instant où on passe de divergence a convergence qu'il faut saisir. C'est là même chose pour les intégrales et donc les aires sous les courbes (enfin c'est comme cela que je le perçoit)

[Lechero]

Désolé, mais je ne vois pas ^^' ... J'ai bien saisi la notion de divergence (oo) et convergence (un point); mais en fait je ne vois pas le rapport avec ce que je ne comprends pas.

Mais c'est sympa quand même d'essayer de m'expliquer

[blablatitude]

bon je ne sais pas comment te faire comprendre, désolé.

Quelqu'un d'autre ?

[Lechero]

Ce n'est pas bien grave, je pense que j'ai encore le temps de me faire à ces choses !

Merci quand même en tout cas; t'es toujours là pour aider, ça fait plaisir

[blablatitude]

J'essaye d'être pédagogue et de partager ma passion pour les maths (même si je ne suis pas toujours génial)

[inviteee221dcd]

Je vais te montrer un exemple qui t'éclairera peut être.
As tu déjà entendu parler du flocon de Von Koch ?
SI oui alors tu vois bien un exemple d'une surface ayant une limite ( environ 1,6 pour un triangle de côtés 1 ) et pourtant avec un périmètre de plus en plus grand.
Si non regarde cet article assez bien fait
mais je ne sais pas si c'est vraiment en lien avec tes interrogations

[Lechero]

Merci, ton lien est pas mal

Mais en fait, grossièrement, pour moi les gens qui arrivent à se représenter l'infini ont un sixième sens. Peut-être est-ce dû à mon jeune age, mais j'ai l'impression d'avoir peur de découvrir de nouveaux concepts ou de nouvelles choses assez abstraites...

[KeM]

Je n'ai pas dis avoir calculé l'intégrale d'une suite ^^

Pour ton exemple (fonct° constante), je comprends.
Mais pour des fonction "normales", je n'arrive pas à me représenter que quelque chose d'infini puisse avoir une aire finie.

Dans l'exemple de KeM, je n'arrive pas à me représenter que l'aire entre la courbe de et l'axe des abscisses en +oo puisse avoir un nombre fini, alors que la courbe ne s'arrête jamais d'aller "plus loin" (même si elle se rapproche infiniment de 0). Vous voyez ce que je veux dire ?

(On prend l'aire de la fonction entre 0 et t).
Ce qui faut que tu "imagines" c'est que plus t va être grand et plus va être proche de 0 (l'axe des abcisses). Donc plus t est grand et plus l'aire entre la courbe et l'axe des abcisses ne varie plus.

Exemple : La différence de l'aire entre 0 et 100000000 et de l'aire entre 0 et 100000001 est très proche de 0.

Plus on prendra un t grand et plus l'aire ne bougera plus, c'est ce qui fait que pour un t infiniment grand, l'aire est fixe.

[Lechero]

Je comprends qu'au bout d'un moment (quand x = 10000 par exemple), l'aire ne varie presque plus. Néanmoins, la fonction "s'approche" de 0, sans jamais l'atteindre; donc lorsque x=10⁹⁹⁹⁹⁹⁹, l'aire a quand même évoluée (infiniment peu, mais quand même).
Pour moi, l'aire varie toujours, même si c'est extrêmement faible; et donc avoir une aire finie... Ça me chiffonne un peu ^^' (si je suis chiant vous avez le droit de me le dire )

[KeM]

Personnellement, je vois la valeur de l'aire comme un emboitement de chiffres après la virgule et que plus t est grand et plus les chiffres modifiés après la virgule sont loin en rang. Par exemple à t = 1000, on a A = 0.991257... (je dis au pif), à t = 1003 : A = 0.991321.., à t = 1007 : A = 0.991329...
La vitesse de convergence de fait que tout s'emboite naturellement et ca se complète, 0.999412..., 0.999999213.., etc ... En + l'infini, on aura 0.999999999... qui est égal à 1 si le nombre de 9 est infini.

Ca reste mes impressions et je ne suis pas du tout sûr de la validité de la chose. Je pense qu'il existe des explications beaucoup plus rigoureuses de ces genres de choses mais surement pas abordable à notre niveau (Terminale).

Si on prend par exemple la fonction son aire sur est infinie, pourtant on pourrait penser qu'elle a le même comportement que .

[Lechero]

Ok OK.

Donc je pense que je ne vais pas développer de 6^ème sens pour l'instant; je le développerais dans les années à venir

Merci quand même à tous !

[blablatitude]

(On prend l'aire de la fonction entre 0 et t).
Ce qui faut que tu "imagines" c'est que plus t va être grand et plus va être proche de 0 (l'axe des abcisses). Donc plus t est grand et plus l'aire entre la courbe et l'axe des abcisses ne varie plus.

Exemple : La différence de l'aire entre 0 et 100000000 et de l'aire entre 0 et 100000001 est très proche de 0.

Plus on prendra un t grand et plus l'aire ne bougera plus, c'est ce qui fait que pour un t infiniment grand, l'aire est fixe.

Ouais mais d'après ton raisonnement l'aire sous la fonction inverse serait finie aussi non ? (même en partant de 1)

[Lechero]

Exact, c'est ce que je n'ai pas compris dans cet exemple en fait...

[KeM]

Ouais mais d'après ton raisonnement l'aire sous la fonction inverse serait finie aussi non ? (même en partant de 1)

Ben j'exposais surtout l'idée (qui est d'ailleurs incomplète) et non un raisonnement rigoureux, après il me semble qu'il faut prendre en compte la vitesse de convergence qui est determinante sur le fait que la limite soit finie ou non. Il y en a pour qui cela choque que soit infinie et d'autres que soit finie (je pense que c'est le cas de Lechero si l'on voit que c'est comme le problème des aires).

[blablatitude]

Oui c'est exactement la même chose une somme et une intégrale, vu qu'une intégrale est une somme ^^ (infinitézimale certes mais somme quand même)

[remace]

bonjour,

je vais tenter un truc: l'infini c'est un objet (j'ai un peu peur d'utiliser le mot point, mais c'est l'idée) qui est le plus grand du monde. on peut donc le voir comme l'ensemble des points à partir d'un point super grand lui aussi, à partir duquel on ne détecte plus l'écart entre la valeur de la fonction et sa limite. du coup ca serait comme ca qu'on en arrive a dire que les fonctions qui tendent vers 0 assez rapidement ont une intégrale finie même en ayant des bornes infinies.

d'ailleurs, pour blablatitude et KeM

ne converge pas à cause du critere de Riemann qui dit grossomodo (et de mémoire d'ancien taupin qui a fait la méga impasse sur toutes les maths aux concours, mauvaise idée) que

ne converge que si a> strict à 1 donc si on lui rajoute en plus une branche infinie qui fait varier l'intégrale dans le même sens que celle traitée dans le cas de ce critère de Riemann elle risque pas de converger plus... (un grand homme ce Riemann quand on y pense)

[blablatitude]

Ne pas oublier de préciser qu'il s'agit d'une intégrale de riemann sur intervale non borné

[remace]

Ne pas oublier de préciser qu'il s'agit d'une intégrale de riemann sur intervale non borné

mwouais infini jamais borné et 1 exclu ma foi si on veut, toute facon le morceau qui y est alloué c'est infinitésimal, donc négligeable^^

mes cours de maths de prépa je les ai jamais appris (si ptetre celui-là viteuf une veille de colle parce que j'avais pas envie de subir la mort rapide qui m'était destinée si je le faisais pas), révisés pour les concours (la méga impasse),ressortis (ben là ils dorment chez moi), on voit des trucs tellement plus simples et puissants que de se taper les 7 criteres d'intégrabilité et les Cinfini-difféos de base en école d'ingé que bon...
mais intègre tu verras le monde change autour de toi, tout est orienté pour que tu réussisse, contrairement à la prépa qui cherche a te poignarder dès qu'elle le peut^^

[blablatitude]

j'ai les CCP mardi, désolé mais les maths je préfere être béton dessus.
Je met un point d'honneur a tout oublier une fois en école d'ingé, mais en attendant ... Je veux une bonne école d'ingé !

[remace]

et tu vise quoi sur ccp?

[blablatitude]

Enac / ensica / ensheeit / ensma

[remace]

Enac / ensica / ensheeit / ensma

ha quand même^^ et y a beaucoup de places? parce qu'en TSI on a 0 enac, 1 ou 2 ensica, 2 enseeight, et quelques ensma

[Médiat]

Exact, c'est ce que je n'ai pas compris dans cet exemple en fait...

Vous pouvez regarder (on trouve tout sur le net) les paradoxes de Zénon d'Elée.