suites de fonctions et recurrence

[invitefb99fc9d]

Bonjours a tous, voilà pendant les vacances je fais des exercices car je n'ai pas compris la methode de recurrence,
L'exercice est le suivant:

Soit (Un) la suite réelle défini par U0=0 et par la relation de récurrence Un+1= racine carré(Un+12) pour tout n appartient IN
1) Calculez Un pour 1 <= n <= 5 (donnez les résultats à 10^-5 prèsn par défaut. (Déjà fais)
2) Démontrez que, pour tt n appartenant à IN, on a Un < 4
3) Démontrer que la suite Un est strictement croissante:
4)a) Démontrons que l'on a 4 - Un < (4-Un)/4 pour tt n appartenant IN.
b) Démontrons que l'on a 4-Un < (1/4^n-1)
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[invitedbf04ae9]

salut, alors pour la 2) :
tu montres, au 1er rang : u(0)=0<4 c'est donc vrai
tu montres ensuite que c'est héréditaire. tu supposes u(n)<4, et tu cherches à démontrer u(n+1)<4
tu pars donc de u(n)<4, et tu fais apparaitre u(n+1) dans l'encadrement, u(n+1) t'étant donné en fonction de u(n) :

u(n)<4
u(n)+12<16
V(u(n)+12)<4 (tout est positif)
et donc u(n)+1<4 !
la propriété est vraie au 1er rang et héréditaire, elle est donc vraie