Suites et récurrence

[invitec1b1962b]

Bonsoir, voila mon problème (il porte bien son nom!) :

Soit la suite réelle (u_n) définie par
u_n+2=4u_n+1-4u_n (1)
U₀=1 et u₁ =2 (2)

1) Montrer que s’il existe une suite (u_n) définie par u_n=rⁿ vérifiant (1) alors le nombre r (réel non nul) est solution d’une équation du second degré.
2) Montrer que cette équation du second degré a une solution unique égale à 2 et que l’on obtient une première suite (u_n) définie par u_n=2ⁿ vérifiant (1).
3) On veut trouver une deuxième suite vérifiant (1). On définit alors (v_n) par v₀=0 et v₁=1 et (u_n) =2ⁿ × v_n.
Montrer que si la suite (u_n) vérifie (1) alors pour tout n de N on a v_n+2 – v_n+1 = v_n+1 – v_n.
4) On dispose de deux suites de terme général respectif 2ⁿ et n×2ⁿ vérifiant (1).
Montrer que (u_n) définie par u_n=k₁×2ⁿ + k₂× (n×2ⁿ) , avec k₁ et k₂ réels uniques, vérifie (1) et (2).
5) Trouver la limite de (u_n) quand n→ +∞

Mes soucis commencent à la question 3). Je ne sais pas trop par où commencer. Je calcule d’abord v_n+1 – v_n avec v₀=0 et v₁=1 mais après je n’arrive pas à calculer v_n+2 – v_n+1.

Pourriez vous me donner un petit coup de main svp, j'y ai passé la journée...
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[Flyingsquirrel]

Salut,

3) On veut trouver une deuxième suite vérifiant (1). On définit alors (v_n) par v₀=0 et v₁=1 et (u_n) =2ⁿ × v_n.
Montrer que si la suite (u_n) vérifie (1) alors pour tout n de N on a v_n+2 – v_n+1 = v_n+1 – v_n.

Il suffit d'exploiter l'hypothèse « vérifie (1) » : écris ce que cela signifie, remplace , et par leurs expressions en fonction de , et ...

[invitec1b1962b]

Coucou!

Merci pour ton aide. La nuit (et ta réponse!) m'ont bien aidée. Je crois que je cherche toujours plus compliqué que ça l'est.

Encore un exercice et mon devoir sera fini! ^^ Mais là ça devrait aller.

Merci encore.