TS suites, fonctions et récurrence

[invite7da3d811]

Bonjour à tous !

Je lutte depuis hier sur 2 exercices sur les suites et j'espere vraiment que vous pourrez m'aider à comprendre un peu tout ça...


Exercice 1 :

Montrer que




Exercice 2 :

f(x) = 1 / (2x-1)

Calculer f'(x), f''(x) et f^3 (x)

Conjecturer f^n (x)

Démontrer la formule par récurrence




Concernant l'exercice 1, c'est simple, je ne sais pas du tout comment commencer...

Pour l'exercice 2, ça me donne :

f'(x) = -2 / (2x-1)²

f''(x) = 2(2x-1+1) / (2x-1)^4 = 2(2x-1)+2 / (2x-1)^4

(je n'ai pas réduit expres afin d'essayer de trouver quelque chose de semblable avec les autres dérivées)

f^3 (x) = [ 4(2x-1)² -4(2x-1)^3 *2*4x ] / (2x-1)^8
= [ 2²(2x-1)² * ( 1-8x(2x-1) ) / (2x-1)^8

j'ai essayé de mettre en évidence (2x-1), mais je ne vois aucune cohésion pour conjecturer...



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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Pour le 1, je ne vois pas non plus... il faudrait que je réfléchisse mais le dimanche...

Pour le 2, OK pour f '(x). Par contre la réponse pour f "(x) me surprend...
Quelle est la dérivée de 2x-1 ? et celle 1/f² ?

Duke.

[invitea3eb043e]

Pour le 1, une petite récurrence peut-être.
Ecris la relation avec n et en-dessous avec n+1
Tu divises membre à membre et tu trouves une relation simple évidemment satisfaite.

[invite7da3d811]

Pour le 1, je ne vois pas non plus... il faudrait que je réfléchisse mais le dimanche...

merci quand meme

Pour le 2, OK pour f '(x). Par contre la réponse pour f "(x) me surprend...
Quelle est la dérivée de 2x-1 ? et celle 1/f² ?

la dérivée de 2x-1 est 2, et celle de 1/f² serait 2f'f....

aaaaah ! oook ! merci

donc

f''(x) = [ -2(2x-1)*2*(-2) ] / (2x-1)^4
= [ 8(2x-1) ] / (2x-1)^4

on aurait donc

f^3 (x) = [ 16(2x-1)^4 - 4(2x-1)^3 *2*8 ] / (2x-1)^8
= [ 8(2x-1)^3 [2(2x-1)-8] ] / (2x-1)^8

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7da3d811]

Pour le 1, une petite récurrence peut-être.
Ecris la relation avec n et en-dessous avec n+1
Tu divises membre à membre et tu trouves une relation simple évidemment satisfaite.

On cherche donc à montrer que la propriété est vraie pour n=1

1
PI = 4*1-2 = 2
k=1

> la propriété est vraie pour n=1


On suppose que

n
PI (4k-2) = PI(n) (k=1) (n+k) est vraie
k=1

Alors

n+1
PI (4k-2) = PI(n) (4k-2) * (4n+1-2)
k=1

=

j'ai essayé de suivre la meme procédure que lorsque la multiplication est une division (somme sur i de...)

mais dans mon exercice de référence on a une formule simple qui définit la propriété pour n...

[invitec317278e]

C'est une petite récurrence.


Alors,
Or,
D'où
D'où
Or, ce 4(n+1)-2 est justement le chiffre par lequel il faut multiplier pour passer du rang n au rang n+1.

[invite7da3d811]

Je ne comprends pas comment tu trouves ça

[Duke Alchemist]

donc

f''(x) = [ -2(2x-1)*2*(-2) ] / (2x-1)^4
= [ 8(2x-1) ] / (2x-1)^4

qui est simplifiable...
C'est mieux pour la suivante une fois simplifiée...

[invite7da3d811]

qui est simplifiable...
C'est mieux pour la suivante une fois simplifiée...

oki

donc

f''(x) = [ -2(2x-1)*2*(-2) ] / (2x-1)^4
= [ 8(2x-1) ] / (2x-1)^4
= 8 / (2x-1)^3
= -2*(-4) / (2x-1)²(2x-1)
= -2 / (2x-1)² * -4 / (2x-1)

ce qui donne

f^3 (x) = [ -3(2x-1)*2 ] / (2x-1)^6
= -6 / (2x-1)^5
= -2 / (2x-1)² * 3 / (2x-1)^3

je ne sais pas trop si ça sert à quelque chose... mais bon...

[Duke Alchemist]

oki

donc

f''(x) = [ -2(2x-1)*2*(-2) ] / (2x-1)^4
= [ 8(2x-1) ] / (2x-1)^4
= 8 / (2x-1)^3

ce qui donne

f^3 (x) = [ -3(2x-1)*2 ] / (2x-1)^6
= -6 / (2x-1)^5

Arrête-toi à ces lignes là !

Euh, je n 'ai pas ça pour f ⁽³⁾(x)

Tu as un gros souci avec les dérivations semble-t-il... mais tu vas finir par y arriver ! courage !

[invite7da3d811]

Arrête-toi à ces lignes là !

Euh, je n 'ai pas ça pour f ⁽³⁾(x)

Tu as un gros souci avec les dérivations semble-t-il... mais tu vas finir par y arriver ! courage !

on va mettre ça sur le coup de la fatigue

pour f ⁽³⁾, j'ai oublié un *8


f''(x) = [ -2(2x-1)*2*(-2) ] / (2x-1)^4
= [ 8(2x-1) ] / (2x-1)^4
= 8 / (2x-1)^3

ce qui donne

f^3 (x) = [ -3(2x-1)*2*8 ] / (2x-1)^6
= -6 / (2x-1)^5

ça sert à quelque chose de dire que :

f'(x) = -2 / (2x-1)²

f''(x) = -2 / (2x-1)² * -4 / (2x-1)

f ⁽³⁾(x) = -2 / (2x-1)² * -4 / (2x-1) * -6 / (2x-1)²


???

[Duke Alchemist]

Bonsoir

f^3 (x) = [ -3(2x-1)*2*8 ] / (2x-1)^6
= -6 / (2x-1)^5

ça sert à quelque chose de dire que :

f'(x) = -2 / (2x-1)²

f''(x) = -2 / (2x-1)² * -4 / (2x-1)

f ⁽³⁾(x) = -2 / (2x-1)² * -4 / (2x-1) * -6 / (2x-1)²

???

Je ne trouve toujours pas ça pour f ⁽³⁾(x)...
Je trouve

Non... (pour la dernière question...)

Duke.

[invitea3eb043e]

Je ne comprends pas comment tu trouves ça

Regarde ce qui se passe quand on passe de n à n+1 :
A gauche, on rajoute un terme qui est 4(n+1) - 2, soit une multiplication par 4n+2
A droite, on supprime un terme (n+1) et on ajoute 2 termes : (2n+1) et (2n+2), ce qui revient à multiplier par (2n+1)*(2n+2)/(n+1) = 4n+2
Donc la relation de récurrence est vérifiée.

[invitec317278e]

Les voies de Dieu sont impénétrables.

[invite7da3d811]

Apres avoir demandé des explications au prof, j'ai... tout compris !

Merci beaucoup à chacun d'entre vous !!

bonne journée !