Suites - Récurrence TS

[invitee85a3c7c]

Bonjour, je suis bloqué à un exo, voici l'énoncé :

La suite (Un) définie par
Uo=1
Un+1= (3Un+9)/2Un pour tout n >= 0.

a) Montrez que les termes de cette suite sont strictement positifs.

>> J'ai démontré par récurrence, et ca marche très bien !!

b) Montrez que pour tout n>=1 , Un >=2.

>> J'ai essayé de démontrer par récurrence ... et c'est là que ca se bloque =( !

c) Déduisez des questions précédentes que :

|Un+1 - 3| =< (3/4)(|Un-3|) pour tout n >=1

>> Pour cette question, j'ai développé |Un+1 - 3|, et ca me donne :

|-3Un+9| / |2Un| . j'ai tenté d'éncadrer en commencant par faire un encadrement de Un : 2=< Un < 0 .. mais ca ne marche pas trop ... =(

d) Démontrez alors que pour tout n>=1
|Un-3|=< 4(3/4)^n. En déduire la limite de (Un).

Aidez moi pour la question b) SVP !!

Pour les question c) et d), j'essaye de les démontrer par réccurence, mais est-ce que je me dirige vers le mauvais sens ?? Aidez moi svp!!
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[Hamb]

par récurrence ca marche très bien, essaye de diviser la fraction en haut et en bas par le dénominateur et ca sera plus facile a démontrer.

[invitee85a3c7c]

euh Hamb, tu parles pour la question b) ?

parce que j'ai ca >>

Un >= 2
2Un >= 2

1/(2Un) =< 2 !
(3Un+9)/(2Un) =< 2 !

ca ne change rien si on divise la fraction en haut et en bas par le dénominateur... =(

[kNz]

Salut,

Tout d'abord tu calcules U₁, tu vois qu'il est supérieur à 2, ça ok ?
Bon ensuite tu le supposes pour un entier de rang n blablabla rédac' comme d'hab, et tu essaies de le montrer pour n+1.



Par hypothèse de récurrence, tu as U_n >= 2, donc U_n+1 il est supérieur à quoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee85a3c7c]

Pour prouver que Un >= 2 pour tout n>=1 : on a deux étapes
1 ) U1 = 6 , donc U1 >= 2

2) Si Un >=2, alors Un+1 >= 2

Je fais la démonstration >>

Un >= 2
2Un >= 2
1/(2Un) =< 2 !
(3Un+9)/(2Un) =< 2 !

CCL > je trouve Un+1 =< 2
au lieu de trouver Un+1 >=2 !!

[kNz]

Désolé mais je comprends pas du tout ce que tu fais, ou plutôt je crois comprendre

Déjà première ligne, tu multiplies d'un côté par 2 et pas de l'autre c'est pas faux ce que tu marques mais en faisant ça c'est sûr que t'arriveras pas au résultat .. idem pour les autres lignes...

La méthode la plus simple, c'est de prendre l'expression de U_n+1, tu sais que U_n >= 2, donc U_n+1 il est au moins supérieur à la valeur quand tu remplaces U_n par 2.

Ok j'suis super clair moi ce soir

PS : elle sert à quoi la question 1) a. ?

[invitee85a3c7c]

J'ai multiplié par 2 d'un coté mais pas de l'autre parce que ..ben .. se sera la mm chose ...

Sinon j'ai pas ce que t'as dit pour la deuxième étape de la récurrenc ...

( et aussi la question a) dois servir pour la question c) [je crois!] parce que on aura besoin de faire un encadrement de Un: 2=< Un < 0)

tu pourrais pas m'éclaircir un petit peu plus pour la question b) ? svp

[invitee85a3c7c]

aidez moi svp , je dois bientot rendre ce dm

[danyvio]

Une piste, peut être : étudier le signe de : (3Un+9)/2Un - 2 et prouver par récurrence que c'est toujours > 0

[danyvio]

Une piste, peut être : étudier le signe de : (3Un+9)/2Un - 2 et prouver par récurrence que c'est toujours > 0

Désolé, mauvaise piste ...

[invitee85a3c7c]

ah merci qd mm Danyvio ^^. Quelqu'un d'autre peut me donner une piste? svp.

[kNz]

Je te l'ai déjà donné.

Par hypothèse de récurrence tu as U_n >= 2
Or U_n+1 = (3U_n+9)/2U_n
Donc U_n+1 >= (3*2+9)/2*2
Soit U_n+1 >= 15/4

Et ça tu vois bien que c'est >= 2.

Tu comprends ou pas ?

[invitee85a3c7c]

J'ai compri ton calcul, mais ce n'est pas comme ca la réucurrence ( ou je me trompe ?!)

parce que normalement on a:

étape1 : = 6 donc

étape 2: Si , alors

Or dans tes calcul tu prend direction la formule de
et tu remplaces par 2! et tu trouves 15/4 qui est supérieur à 2.

>>Mais , normalement on doit partir de et ensuite
on multiplie par 2, puis on passe à l'inverse , et on rajoute , non? enfin ca doit etre quelque chose comme de ce genre pour la deuxième étape de la récurrence...

[kNz]

Non la récurrence, c'est juste le raisonnement qui consiste à prouver que si une propriété est vraie à un rang et qu'elle l'est aussi au rang d'après, alors elle est tout le temps vrai à partir d'un certain rang.

Après comment tu arrives au résultat ça n'a rien à voir avec la récurrence, tu as juste une hypothèse de récurrence que tu dois utiliser, ici U_n > 2

Et d'ailleurs au lieu de te faire ch*** avec tous tes calculs, c'est bien plus pratique de le faire directement. Vois-tu une incohérence dans le raisonnement ci dessus ?

Tu as l'expression de U_n+1 en fonction de U_n, tu as un renseignement sur U_n et tu en déduis un renseignement sur U_n+1, c'est tout.

[invitee85a3c7c]

ah d'accord kNz... merci =).

mais .... existe-t-il une autre façon de démontrer cela ? svp

[invitee85a3c7c]

Est-ce que quelqu'un peut me re aider pour la question b), svp

je dois bientot rendre ce Dm! help please

[kNz]

plopplopplop

[danyvio]

Je te l'ai déjà donné.

Par hypothèse de récurrence tu as U_n >= 2
Or U_n+1 = (3U_n+9)/2U_n
Donc U_n+1 >= (3*2+9)/2*2
Soit U_n+1 >= 15/4

Et ça tu vois bien que c'est >= 2.

Tu comprends ou pas ?

Je ne suis pas d'accord sur l'arithmétique consistant à écrire les inégalités comme si Un était exactement = à 2. Attention à la division par Un

Fais le calcul avec Un=50, et tu verras que le résultat n'est pas > ou = à 2.
EN l'occurrence, Un ne vaut jamais 50, mais à ce stade du développement du problème, on ne le sait pas encore....

[invitee85a3c7c]

Merci danyvio! j'étais persuadé qu'il y avait un problème dans le calcul ! Merci de confirmer ce que je pensais!

Pourrais-tu me donner d'autres indice pour m'aider à répondre à la question b) ? svp

[danyvio]

Procédons par absurde, et voyons les conditions pour que U_n+1 soit < ou =2

(3*U_n+9) / (2*U_n) <= 2 -> 3*U_n+9 <= 4*U_n -> u>= 9

Remarquons au passage que (3*U_n+9) / (2*U_n) peut s'écrire 3/2 + 9/(2*U_n )
Par ailleurs,
U_n> 2 -> U_n+1 < 3/2 + 9/4) soit donc < 15/4 qui est < 9
(En effet, le dénominateur positif 2*U est > 4 si U > 2 -> 9/2*u < 9/4)
Conclusion :

Un < 9 -> Un+1 > 2
Un > 2 -> Un+1 < 9
Tout Un compris strictement entre 2 et 9 -> Un+1 compris strictement entre 2 et 9
Or U1 = 6 compris strictement entre 2 et 9 donc les U2 U3 etc.aussi.

[kNz]

Oula oui en effet pardon, marche pas avec la division ça

[invitee85a3c7c]

danyvio, merci de ta proposition de réponse, mais c'est que ... cette méthode je ne la comprend pas trop, de même mon prof n'en na jms parlé, donc je ne vais pas mettre ca dans mon DM .. sa va paraitre louche.

Bien sur je peux sortir quelque chose nouvo dans mon qu'on a jms vu en cours, mais bon la dernière fois c'était pas trop ca avec le prof...

donc je voudrais savoir, est ce qu'il ya une autre méthode pour prouver que pour tout ?

svp (je dois rendre ce Dm très bientot! aidez moi svp!)

[invitee85a3c7c]

oups dsl, je voulais dire :

est ce qu'il y a une autre méthode pour prouver que pour tout ?

svp (je dois rendre ce Dm bientôt, help svp)