Limite d'une suite

[Jon83]

Bonjour!

J'ai la suite .
Pour chercher sa limite quand n tend vers l'infini, j'écris:
.
Lorsque n tend vers l'infini, la limite semble être égale à 0....
Or, elle est égale à 2!!!! Où est mon erreur???
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[invitec17b0872]

Bonjour,

Si vous factorisez par n, il vient n qui tend vers l'infini, et un facteur qui tend vers 0. Cela revient donc à "multiplier 0 par l'infini" et ça, c'est une forme indéterminée.
Quand e est petit devant 1, racine de (1+e) c'est environ 1+e/2 (développement limité de la racine au premier ordre au voisinage de 1)
Bidouillez votre racine avec ça et 2 devrait sortir.

Bon courage !

[Jon83]

Quand e est petit devant 1, racine de (1+e) c'est environ 1+e/2 (développement limité de la racine au premier ordre au voisinage de 1)
Bidouillez votre racine avec ça et 2 devrait sortir.

Bon courage !

OK, merci ton aide! Je calcule et en multipliant et divisant par la quantité conjuguée, j'arrive à qui tend vers 0; donc tend vers 2

Par contre je ne comprends pas bien cette explication:

Si vous factorisez par n, il vient n qui tend vers l'infini, et un facteur qui tend vers 0. Cela revient donc à "multiplier 0 par l'infini" et ça, c'est une forme indéterminée.

[invitec17b0872]

Re,

Bonne méthode, ça fonctionne bien quand on arrive à intuiter la limite.
Concernant les formes indéterminées, je vous renvoie vers le lien Wiki ici.
Si on factorise la forme que vous proposiez au premier poste, on obtient n.(racine(1 + 4/n) - 1) : le premier facteur tend vers n par hypothèse, et la parenthèse tend vers 0 car la racine tend vers 1. On est donc en train de multiplier l'infini par 0, donc on ne peut pas conclure.
C'est plus clair ?

Mais votre méthode fonctionne très bien, donc pas de problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Ah oui, en effet, je comprends mieux ainsi!

Mais alors, pourquoi, lorsque l'on a étudié les polynômes, le prof nous a dit de factoriser par le degré le plus élevé? Par exemple: pour trouver la limite de P(x)=3x²+2x-5 lorsque x tend vers l'infini, il nous a dit d'écrire .
x² tend vers l'infini et les termes tendent vers 0: on a bien un terme x² qui tend à l'infini qui factorise des termes qui tendent vers 0 ????? J'ai peut être raté une étape

[invitec17b0872]

Ah oui, en effet, je comprends mieux ainsi!

Mais alors, pourquoi, lorsque l'on a étudié les polynômes, le prof nous a dit de factoriser par le degré le plus élevé? Par exemple: pour trouver la limite de P(x)=3x²+2x-5 lorsque x tend vers l'infini, il nous a dit d'écrire .
x² tend vers l'infini et les termes tendent vers 0: on a bien un terme x² qui tend à l'infini qui factorise des termes qui tendent vers 0 ????? J'ai peut être raté une étape

Oui c'est la bonne méthode, car dans votre parenthèse il reste un...3
Donc quand "x est grand", votre polynôme se comporte comme 3x², une sorte "d'asymptote parabolique" si on peut dire...

[Jon83]

Ah, OK! ça ne marcherai pas si le terme dans la parenthèse tendait vers 0, c'est ça?

[invitec17b0872]

Ah, OK! ça ne marcherai pas si le terme dans la parenthèse tendait vers 0, c'est ça?

Bingo mais ça voudrait dire qu'il n'y a pas de terme en x² donc on n'aurait pas factorisé le polynôme par x² donc le cas ne se serait pas présenté !
Bon courage !

[invite3cc91bf8]

Rodes77 a tout dit :

Bou, le LaTex prend trop de temps, donc ça veut plus rien dire !

[invitec17b0872]

Rodes77 a tout dit :

Bou, le LaTex prend trop de temps, donc ça veut plus rien dire !

Salut !
Parfois les maths sont si pénibles à démontrer les évidences... Bien joué pour l'effort en LaTeX en tout cas

[invite3cc91bf8]

D'ailleurs, il semble que le résultat de votre limite soit erroné :

[invitec17b0872]

D'ailleurs, il semble que le résultat de votre limite soit erroné :

Oui, le problème initial donne, lui, un + sous la racine

[Jon83]

Merci à tout les deux pour vos efforts et votre patience!

[pallas]

pour traiter cette limite il suffit de multiplier par l'expression conjuguée ( méthode courante)
ainsi Rac(n²+4n)-n =( Rac(n²+4n)-n)(rac(n²+4n)+n)/(rac(n²+4n)+n)= (n²+4n-n²)/(rac(n²+4n)+n)= 4n/n(Rac(1+4/n) +1) car valeur absolu de n = n soit 4/(rac(1+4/n)+1) et la limite fait 4/2 soit 2 !!!

[invite3cc91bf8]

On récapitule ce que dit pallas :

[Jon83]

Chapeau pour la présentation Latex!!!