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Théorème des probabilités total



  1. #1
    snakes1993

    Théorème des probabilités total


    ------

    Bonjour camarade

    J'ai du mal à réellement comprendre le théorème des probabilités totales. J'ai du mal à comprendre l'essence de la formule:

    P(B)= P(A1)*P(B/A1) + P(A2) P(B/A2)

    et ce qu'elle veut communiquer. J'espère avoir été clair

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    link42

    Re : Théorème des probabilités total

    Bonsoir,
    Il s'agit de calculer la probabilité totale d'un évènement B.
    Sur ton arbre de probabilité pondéré, tu regardes sur quelles branches l'évènement B apparait, et la formule consiste à additionner toutes ces 'semi' probabilités.
    Dans ton exemple, P(B)= P(A1 inter B) + P(A2 inter B), et grace à la formule P de B sachant A, tu retrouve le théorème des prob totales.

  4. #3
    snakes1993

    Re : Théorème des probabilités total

    OK donc on va dire que c'est le calcule d'un probabilité " sous des conditions ou des semi - probabilités " en terme de phrase?

  5. #4
    fiatlux

    Re : Théorème des probabilités total

    Salut,

    Je te fais un exemple:
    Soient une ville X à partir de laquelle on ne peut aller que dans 2 autres villes, Y et Z. Les villes Y et Z sont proches et pour aller de X à l'une de ces deux villes, on a le choix entre 2 routes : la Route 1 ou la Route 2. Pour aller à Y la Route 1 est plus rapide donc 75% des gens qui vont à Y prennent la Route 1 au lieu de la 2. Par contre pour aller à Z la Route 2 est plus rapide et 85% prennent la Route 2 au lieu de la 1 pour aller à Z. Dernière chose, les gens qui partent de X vont plus souvent à Y qu'à Z, plus exactement, les 60% du temps ils se rendent à Y et les 40% du temps ils vont à Z. Donc:
    A = événement = aller de X à Y
    B = événement = aller de X à Z
    C = événement = prendre la Route 1
    D = événement = prendre la Route 2

    De la donnée ci-dessus on trouve que:
    P(A) = 0.6
    P(B) = 0.4
    P(C|A) = 0.75
    P(D|A) = 0.25
    P(C|B) = 0.15
    P(D|B) = 0.85

    Question: un habitant de X part de chez lui. On ne sait pas s'il va à Y ou Z. Quelle est la probabilité qu'il prenne la Route 1 ?
    P(C) = P(A)*P(C|A) + P(B)*P(C|B) = 0.6*0.75 + 0.4*0.15 = 0.51
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

  6. #5
    snakes1993

    Re : Théorème des probabilités total

    OKKK je commence à assimiler la chose mais le problème est quand je rencontre des problème comme celui-ci :

    Deux élèves doivent présenter une épreuve en équipe. Le premier connaît parfaitement la matière de 6 chapitres sur 12 et le second connait celle de 8 chapitres ( 8/12). On pose une question au hasard sur l'un des chapitres. Quelle est la probabilité de réussite de l'équipe.

    Ici :
    A = événement = élève connait 6/12
    B = événement = élève connait 8/12

    Si je fais mon arbre j'aurai au départ 2 branches pour A et B.

    1er branche A connait 6/12
    2ieme branche A connait pas 6/12

    1er branche B connait 8/12
    2ième branche B connais pas 4/12

    Donc la probabilité qu'il réussit, devrait être : P(réussir)= (6/12) + (8/12)

    mais c'est faut et ce qui me gêne le plus est que trouve pas un P(C|A)

    S= 5/6

    Encore merci

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    fiatlux

    Re : Théorème des probabilités total

    resalut

    Oui dans ton exemple c'est un peu plus vicieux parce qu'il faut tenir compte du fait qu'il y a certaines questions où les 2 savent répondre, et si tu comptes cette probabilité 2 fois (en faisant 6/12 + 8/12 comme tu l'as fais), forcément tu vas surestimer le résultat final. Dans mon exemple cette probabilité était nulle (ç'aurait été "probabilité d'aller à Y et d'aller à Z en même temps...). Tu peux regarder cet exemple là: http://perso.fundp.ac.be/~pcalmant/m...30/page10.html
    C'est exactement la même chose que dans ton cas. Dans ton cas la probabilité que l'élève 1 ET l'élève 2 connaissent la réponse, autrement dit P(A inter B), c'est 6/12 * 8/12 = 1/3.

    Et si A=l'élève 1 connaît la bonne réponse et B=l'élève 2 connaît la bonne réponse et C=l'équipe trouve la bonne réponse, alors P(C|A) = 1 et P(C|B) = 1. Ce qui est logique: quelle est la probabilité que l'équipe trouve la bonne réponse sachant que l'élève 1 connaît la bonne réponse ? Ben c'est 1. Idem pour l'élève 2: elle est la probabilité que l'équipe trouve la bonne réponse sachant que l'élève 2 connaît la bonne réponse ? --> 1.
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

  9. Publicité
  10. #7
    KeM

    Re : Théorème des probabilités total

    Soit A l'évènement : "Le premier joueur connait le chapitre donné"
    Soit B l'évènement : "Le deuxième joueur connait le chapitre donné"

    et d'après l'énoncé.

    Soit AUB l'évènement : "Le premier ou le deuxième joueur connait le chapitre donné" = "L'équipe connait le chapitre donné"

    D'après le cours :
    Or A et B sont deux évènements indépendants donc
    Il vient alors

  11. #8
    snakes1993

    Re : Théorème des probabilités total

    mmm ok ça commence à venir. Mon premier problème est que en général ma logique est fausse :ss voila pourquoi je suis largué.

    Mais j'ai pas trop bien comprit comment tu as trouvé 1 P(C|A) = 1 et P(C|B) = 1.
    pfff

  12. #9
    fiatlux

    Re : Théorème des probabilités total

    Ben... comme ça:
    si A=l'élève 1 connaît la bonne réponse et B=l'élève 2 connaît la bonne réponse et C=l'équipe trouve la bonne réponse, alors P(C|A) = 1 et P(C|B) = 1. Ce qui est logique: quelle est la probabilité que l'équipe trouve la bonne réponse sachant que l'élève 1 connaît la bonne réponse ? Ben c'est 1. Idem pour l'élève 2: elle est la probabilité que l'équipe trouve la bonne réponse sachant que l'élève 2 connaît la bonne réponse ? --> 1.
    Désolé, mais je peux difficilement le dire plus clairement. Si l'élève 1 connaît la réponse, quelle est la probabilité que l'équipe connaisse la réponse ? Ben elle est de 100%. C'est pas clair ?
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

  13. #10
    snakes1993

    Re : Théorème des probabilités total

    ah okok merci j'ai comprit c'est ce que j'avais fait au début, je vais aller essayer d'intégrer ça donc pour finir le calcul est ? ( pour être sure)

    avec le P(C|A) = 1 pas avec la méthode de KeM qui est très bien.

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