Méthode d'Euler.

[invite74d10220]

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer la méthode d'Euler? Dans quel cas l'utilise t-on?
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[mb019]

Bonsoir, la méthode d'euler est un schéma numérique qui permet d'approximer la solution d'une équation différentielle d'ordre 1 avec condition initiale.

Un exemple tout simple:
On considère l'equa-diff y'=y et y(0)=1 alors on sait d'après la définition de la dérivée que f(a+h)=f(a)+hf'(a) +he(h) en negligeant la fonction e qui tend vers 0 quand h est petit on a que f(a+h)=f(a)+hf'(a) maintenant si on prend f=y on a que y(a+h)=y(a)+hy'(a) en partant de la condition initiale y(0)=1 on a y(0+h)=y(0)+hy'(0) or y'=y donc y(h)=(1+h)y(0) donc on a une approximation de y(h) pour h suffisament petit.
La méthode d'Euler consiste à partir de f(a+h)=f(a)+hf'(a) et de remplacer f' par le terme en y' de léquation différentielle qui permettra d'obtenir une approximation de f(a+h) en fonction de f(a).
On dit que la méthode d'Euler est une méthode d'ordre 1 car l'erreur d'approximation entre de f(a+h) est proportionnel à h ( le pas utilisée pour discretiser l'intervalle sur lequel on cherche la solution)