Conditions d'élévation au carré

[invite7ae3621f]

Bonjour tout le monde,

Quelqu'un pourrait me rappeler les conditions d'élévation au carré lors d'une équation ?

Il faut que les 2 membres soient positifs, c 'est ça?

Si j'ai une racine carrée = un nombre positif, elles sont toujours remplies, et si j'ai une égalité entre 2 racines, je dois dire que ces racines sont plus grandes ou égales à zéro ? C 'est bien cela, en résumé ?

Merci !
-----

[inviteecc63dee]

Salut,

Pour moi, tu as toujours le droit d'élever au carré une équation, si a = b alors forcément a² = b².

Le problème se pose lorsque tu passes à la racine, là, les 2 membres doivent en effet être positifs : si a = b alors tu as le droit d'écrire racine(a) = racine (b) si et seulement si a et b sont positifs (ou nuls bien évidemment).

[invite7ae3621f]

Mais si on a , par exemple :

Racine carrée de (2x + 1) = 3x+2 ... Il faut que 3x+2 soit positif, pour pouvoir élever au carré, non ?

[inviteecc63dee]

Non non, pour passer au carré, pas besoin de condition, puisque si tu écris racine(2x+1), tu supposes déjà que 2x+1 est positif (sinon la racine n'existerait pas), donc en élevant au carré, tu auras un truc positif = un truc positif, pas de problème.

Le problème est dans le passage à la racine :

2x+1 = (3x+2)² => racine(2x+1) = +/- (3x+2) si et seulement si 2x+1 est positif, et après pour le choix de + ou -, tu prends celui qui fait que le membre de droite est positif.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Mais si on a , par exemple :

Racine carrée de (2x + 1) = 3x+2 ... Il faut que 3x+2 soit positif, pour pouvoir élever au carré, non ?

Pas pour l'élévation au carré mais pour l'existence même de la racine :
la racine carré d'un nombre étant définie de lR+ dans lR+, elle est positive (ou nulle) ainsi le membre de droite doit en effet être positif ou nul soit x>-2/3.
De plus, le radicande (expression sous la racine) doit être lui aussi positif ou nul et x>-1/2.

Conclusion l'ensemble des x vérifiant l'équation doit être supérieur ou égal à -1/2.

Je crois que j'ai répété grosso modo ce qu'a écrit Crossover...

Duke.

[invite7ae3621f]

Ah oui, d'accord, merci à vous deux !
C'est parce qu'on m'a toujours dit "condition d'élévation au carré", alors... Mais, quelque soit le nom (d'ailleurs, merci pour cette précision), j'ai ma réponse, merci beaucoup !

Et, si je peux en profiter pour vous poser une deuxième petite question, plutôt pour être sûr... (en fait, j'ai mon oral de math demain... )

Pour étudier le signe d'une fonction, sous la forme d'un quotient, il suffit d'étudier le signe du numérateur, en excluant les racines du dénominateur, non ? (Qui le sont déjà après avoir regardé le domaine, en fait...)

[invite51d17075]

je vais le dire autrement .
une élévation au carré est une implication pas une equivalence.
donc
a=b => a²=b² mais l'inverse n'est pas vrai !

[invite7ae3621f]

D'accord, j'ai compris maintenant, merci à tous les trois, c 'est gentil !

[Duke Alchemist]

Re-

Pour étudier le signe d'une fonction, sous la forme d'un quotient, il suffit d'étudier le signe du numérateur, en excluant les racines du dénominateur, non ? (Qui le sont déjà après avoir regardé le domaine, en fait...)

Pour étudier le signe d'une fonction rationnelle (= quotient de fonctions) il te faut étudier le signe du numérateur et le signe du dénominateur.

Notons f(x)=N(x)/D(x) et, comme pour un produit, si :
* N(x) et D(x) sont de même signe alors f(x)>0
* N(x) et D(x) sont de signe contraire alors f(x)<0
* N(x)=0 alors f(x)=0
Et, en effet, D(x) doit être non nul.

Duke.

[invite7ae3621f]

Merci beaucoup encore !

J'hésitais...

Bonne soirée à vous !

[invite26003a38]

Merci beaucoup encore !

J'hésitais...

Bonne soirée à vous !

Je pense que tu confondais avec les inéquations, ou il faut traiter les cas positifs et négatifs.

[invite03f2c9c5]

La question initiale est un peu vague, et je ne suis pas sûr que le posteur initial ait tout compris.

Comme il a été dit, si deux nombres et sont identiques, alors forcément, leurs carrés le sont aussi, ce qu’on peut formaliser par l’implication
.
Comme il a été dit, la réciproque est fausse : n’entraîne que si et ont le même signe.

Maintenant, quand on résout une équation, on veut obtenir toutes les solutions, rien que les solutions. Si on se contente de raisonner avec des implications (symbole ), on va obtenir une condition nécessaire sur les solutions (si est solution de l'équation , alors nécessairement est solution de ).

Mais cela ne prouve pas que tous les résultats trouvés seront effectivement des solutions de l’équation initiale : l’équation obtenue après élévation au carré des deux membres n’est pas forcément condition suffisante pour que l’équation initiale soit satisfaite. Pour reprendre mon exemple, si on veut une condition à la fois nécessaire et suffisante, c’est-à-dire une équivalence (symbole ), on doit écrire

(la seconde condition assurant que et sont de même signe, puisque est forcément positif).

La résolution de l’équation donne a priori deux solutions et . Cependant, seule la seconde vérifie la condition de signe, si bien que l’unique solution de l’équation est .

Pour que l’équation soit vérifiée, il est nécessaire que vale ou , mais valoir n’est pas suffisant !

[invite48ca7510]

Salut,

très bonne explication, j'ai bien aimé !

Merci, même si je ne suis pas le demandeur, ça peut toujours servir !

[invite7ae3621f]

Ah oui merci, c'était ça en fait ma question, par rapport à ce que vous avez expliquez avec "l'équivalence".

Merci à tous pour vos réponses !